Question

【題目】MN和M′N′為兩豎直放置的平行光滑長直金屬導軌，兩導軌間的距離為L。在導軌的下部有垂直于導軌向里的勻強磁場，磁感應強度為B。金屬棒ef的長度為L、質量為m、電阻可忽略不計。在以下討論中，假設導軌足夠長，磁場區(qū)域足夠大，金屬棒ef與導軌垂直并良好接觸，導線和各接觸處的電阻不計，電路的電感、空氣的阻力可忽略，已知重力加速度為g。

（1）如圖甲所示，當在導軌的MM′端通過導線將阻值為R的定值電阻連接，在t=0時無初速度地釋放金屬棒ef，求金屬棒所能達到的最大速度vm的大小。

（2）如圖乙所示，當在導軌的MM′端通過導線將電容為C、擊穿電壓為Ub、正對面積為S、極板間可認為是真空、極板間距為d的平行板電容器連接，在t=0時無初速度地釋放金屬棒ef。

①求電容器達到擊穿電壓所用的時間；

②金屬棒ef下落的過程中，速度逐漸變大，感應的電動勢逐漸變大，電容器極板上的電荷量逐漸增加，兩極板間存儲的電場能也逐漸增加。單位體積內所包含的電場能稱為電場的能量密度。已知平行板電容器的電容的大小可表示為，為真空中的介電常數(shù)。證明：平行板電容器兩極板間的空間內的電場能量密度與電場強度E的平方成正比，并求出比例系數(shù)。結果用和一些數(shù)字的組合表示。

Answer 1

【答案】（1） （2）①②能量密度ω與電場強度E的平方成正比，且比例系數(shù)為

【解析】（1）當金屬棒勻速運動時，金屬棒受到的安培力和重力是一對平衡力，即F安=mg

又因為

所以，金屬棒此時的速度大小為

（2）①在電容器達到擊穿電壓前，設任意時刻t，流過金屬棒的電流為i，由牛頓第二定律，金屬棒的加速度a滿足 mg-BiL=ma

設在 的時間內，金屬棒的速度，電容器兩端的電壓、電容器的帶電量，由電流的定義、電量電壓和電容間的關系、電磁感應定律以及加速度的定義得

將此式和上式聯(lián)立得

可見，金屬棒做初速度為0的勻加速直線運動，當電容器達到擊穿電壓時，金屬棒的速度為

所以，電容器達到擊穿電壓所用的時間為

②當電容器兩極板間的電荷量增加無窮小量 時，極板間的電壓可認為始終為Ui，增加的電場能可用圖1中左邊第1個陰影部分的面積表示；同理，當電容器兩極板間的電荷量增加無窮小量時，極板間的電壓可認為始終為Ui+1，增加的電場能可用圖1中第2個陰影部分的面積表示；依次類推，所以在圖2中，陰影部分的面積表示電容器的帶電量為Q′、兩端電壓為U′時，兩極板間電場能的大小E′，所以

根據(jù)題意有

將 、 、 帶入上式，整理得

所以，能量密度ω與電場強度E的平方成正比，且比例系數(shù)為.