Question

8．科研人員利用電場和磁場控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，從而來進(jìn)行粒子分選，其原理如圖所示：真空環(huán)境中，由a、b、c、d四個(gè)平行界面分隔出的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)區(qū)域，寬度均為L=0.12m．讓包含兩種不同的帶正電粒子組成的粒子束，從界面a上的P點(diǎn)以速度v₀=5×10²m/s垂直界面射入?yún)^(qū)域Ⅰ，兩種粒子帶電量均為q=1×10^-6C，質(zhì)量分別為m₁=3×10^-10kg和m₂=4×10^-10kg．若在區(qū)域Ⅰ和Ⅲ分別加上垂直紙面、方向相反、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B=1T的勻強(qiáng)磁場，粒子能分成兩束從界面d出射；若在區(qū)域Ⅰ和Ⅲ分別加上與界面平行、方向相反的勻強(qiáng)電場，粒子也能分成兩束從界面d出射．不計(jì)粒子重力．
（1）求加磁場時(shí)兩種粒子在界面d上出射點(diǎn)之間的距離
（2）若加電場時(shí)兩種粒子在界面d上出射點(diǎn)之間的距離與加磁場時(shí)相等，求電場強(qiáng)度的大�。�

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)離開磁場做勻速直線運(yùn)動(dòng)再進(jìn)入磁場反方向做圓周運(yùn)動(dòng)，首先求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)半徑求出粒子作圓周運(yùn)動(dòng)所對(duì)的圓心角，根據(jù)幾何知識(shí)求出粒子在豎直方向距初始位置的距離；
（2）粒子在電場中做曲線運(yùn)動(dòng)，把曲線運(yùn)動(dòng)分解為水平和豎直方向的直線運(yùn)動(dòng)，水平方向勻速直線，豎直方向先加速后勻速最后減速，根據(jù)直線運(yùn)動(dòng)公式，求出粒子在豎直方向距初始位置的距離；

解答 解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，粒子1進(jìn)入磁場由$qBv=m\frac{{v}^{2}}{r}$得：
${r}_{1}=\frac{{m}_{1}{v}_{0}}{Bq}$=0.15m
此圓弧所對(duì)圓心角的正弦值為：$sin{θ}_{1}=\frac{0.12}{0.15}=0.8$，
由幾何知識(shí)可知，在Ⅰ區(qū)域內(nèi)豎直方向偏轉(zhuǎn)位移為：h₁=r₁-r₁cosθ₁=0.06m
粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ做勻速直線運(yùn)動(dòng)，入射角與水平方向夾角為53°
由幾何知識(shí)可知，豎直方向位移為：h₂=Ltan53°=0.16m
進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ由半徑仍為：${r}_{1}=\frac{{m}_{1}{v}_{0}}{Bq}$=0.15m
由幾何知識(shí)可知，豎直方向位移為：h₃=r₁-r₁cosθ₁=0.06m
粒子1在豎直方向總位移為：H₁=h₁+h₂+h₃=0.28m
同理粒子2在豎直方向總位移為：H₂=0.17m
△H=H₁-H₂=0.11m
（2）若在區(qū)域Ⅰ、Ⅲ加入電場，則粒子在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有：
$t=\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{0.12}{5×1{0}^{2}}=2.4×1{0}^{-4}$
粒子1在區(qū)域Ⅰ中豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
豎直方向末速度為：${v}_{t1}=at=\frac{Eq}{{m}_{1}}t$，
粒子豎直方向位移為：${x}_{1}=\frac{0+{v}_{t1}}{2}t$
在區(qū)域Ⅱ中粒子在豎直方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故粒子在豎直方向位移為：x₂=v_t1t
在區(qū)域Ⅲ中粒子在豎直方向做初速度為${v}_{{t}_{1}}$，末速度為0的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，故粒子在豎直方向位移為：
${x}_{3}=\frac{{v}_{t1}+0}{2}t$
${x}_{總1}={x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=2{v}_{t1}t=2\frac{Eq}{{m}_{1}}{t}^{2}$
同理可得：${x}_{總2}=2\frac{Eq}{{m}_{2}}{t}^{2}$
△H=x_總1-x_總2=0.11m
解得：E=1.1458×10³V/m
答：（1）求加磁場時(shí)兩種粒子在界面d上出射點(diǎn)之間的距離為0.11m；
（2）若加電場時(shí)兩種粒子在界面d上出射點(diǎn)之間的距離與加磁場時(shí)相等，求電場強(qiáng)度的大小為1.1458×10³V/m．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在組合場中的運(yùn)動(dòng)問題，首先分析出粒子的運(yùn)動(dòng)情況．對(duì)于磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)，要正確畫出軌跡，用幾何知識(shí)求解．當(dāng)粒子在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，曲線運(yùn)動(dòng)需分解為兩個(gè)直線的合成，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解；