Question

如圖a所示的平面坐標(biāo)系xOy，在整個(gè)區(qū)域內(nèi)充滿了勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直坐標(biāo)平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖b所示，開始時(shí)刻，磁場(chǎng)方向垂直紙面向內(nèi)（如圖）．t=0時(shí)刻，有一帶正電的粒子（不計(jì)重力）從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正向進(jìn)入磁場(chǎng)，初速度為v₀=2×10³m/s．已知正粒子的比荷為1.0×10⁴C/kg，其它有關(guān)數(shù)據(jù)見圖中標(biāo)示．試求：
（1）t=×10^-4s時(shí)刻，粒子的坐標(biāo)．
（2）粒子從開始時(shí)刻起經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)y軸．
（3）粒子是否還可以返回原點(diǎn)？如果可以，則經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間返回原點(diǎn)？

Answer 1

分析：（1）由洛倫茲力提供向心力可以得到軌道半徑，由軌道半徑可得周期，由磁場(chǎng)的變化可以畫出在第一段時(shí)間內(nèi)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何關(guān)系可得到粒子的坐標(biāo)．
（2）依據(jù)第一問得到的結(jié)果，可以得到在第二，第三時(shí)間段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，由圖可知粒子恰好在第三段時(shí)間末到達(dá)y軸，由此可得時(shí)間
（3）依據(jù)磁場(chǎng)變化的周期性，可知粒子的運(yùn)動(dòng)也存在對(duì)應(yīng)的周期性，可做粒子的軌跡圖，由圖可知其返回的時(shí)間．

解答：解：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為R，周期為T，由洛侖茲力提供向心力，有
qvB=m

v2

R

解得：R=

mv

qB

=

2×103×10-4

0.5

=0.4m
又：T=

2πR

v

=

2πm

qB

=

2π×10-4

0.5

=4π×10^-4s

在磁場(chǎng)變化的第一段時(shí)間內(nèi)，粒子運(yùn)動(dòng)的周期數(shù)為：N =

4π 3 ×104

4π×104

=

1

3

（個(gè)運(yùn)動(dòng)周期） 
運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，作出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示．
第一段時(shí)間末，粒子的坐標(biāo)為：
x=Rcos30°=0.2

3

m，y=R+

.

O1A

sin30°=0.6m
所求時(shí)刻，粒子的坐標(biāo)（0.2

3

m，0.6m） 
（2）根據(jù)第（1）問可知，粒子在第一個(gè)磁場(chǎng)變化的時(shí)間段內(nèi)時(shí)，運(yùn)動(dòng)了N₁=

1

3

個(gè)周期，在第二個(gè)時(shí)間段內(nèi)運(yùn)動(dòng)的周期數(shù)為N2=

2π 3 ×104

4π×104

=

1

6

（個(gè)周期） 
所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡圓心角為60°．運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．
第三個(gè)時(shí)間段內(nèi)同樣運(yùn)動(dòng)了：N3=

4π 3 ×104

4π×104

=

1

3

（個(gè)周期）
對(duì)應(yīng)的圓心角為120°．
粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，粒子恰好在第三段時(shí)間末通過y軸．
故運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=

π

3

×10^-3s 
（3）粒子在磁場(chǎng)中作周期性運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性和周期性，畫出粒子的部分運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，其中O₂、O₆、O₁₀構(gòu)成一個(gè)正三邊形．
故粒子在磁場(chǎng)中一共運(yùn)動(dòng)了6個(gè)大圓弧和3個(gè)小圓弧，故從原點(diǎn)出發(fā)到回到原點(diǎn)的總時(shí)間為
t'=6×

4π

3

×10^-4s+3×

2π

3

×10^-4s=π×10^-3s  

答：
（1）t=×10^-4s時(shí)刻，粒子的坐標(biāo)（0.2

3

m，0.6m）．
（2）粒子從開始時(shí)刻起經(jīng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=

π

3

×10^-3s 到達(dá)y軸．
（3）粒子可以返回原點(diǎn)，所經(jīng)歷的時(shí)間為π×10^-3s

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)是對(duì)磁場(chǎng)周期性的應(yīng)用，磁場(chǎng)的周期性一定就會(huì)由粒子運(yùn)動(dòng)周期性的變化，故只要得到一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)軌跡，就可以重復(fù)畫軌跡，直到得到想要的結(jié)果．本題由于粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡比較復(fù)雜，故考察的難度相對(duì)較大．