Question

5．如圖所示，一根細(xì)線（不計(jì)質(zhì)量）穿過光滑的豎直圓管，圓管上的閥門k可以控制細(xì)線伸出底端的長度，圓管底端距水平桌面的高度h=0.4m，現(xiàn)在細(xì)線的末端系一質(zhì)量m=2kg的小球，小球以圓管底端為懸點(diǎn)在水平桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓管下方的細(xì)線與豎直方向的夾角θ=37°，此時(shí)小球?qū)ψ烂娴膲毫η『脼榱悖�取重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大�。�
（2）若將閥門k松開，t=$\frac{4}{15}$s后再次鎖緊，小球以速度大小v₁=0.9m/s在水平桌面內(nèi)再次做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求此后小球受到水平桌面的支持力大小N．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求出小球在水平桌面上做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，結(jié)合牛頓第二定律求出小球做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小．
（2）在閥門k松開t時(shí)間內(nèi)，小球?qū)�從b點(diǎn)沿切線勻速運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系求出小球再次做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，抓住豎直方向上平衡，水平方向上的合力提供向心力，求出小球受到桌面的支持力．

解答 解：（1）由題可知，小球在水平桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：
r=$htan37°=0.4×\frac{3}{4}m=0.3m$，
根據(jù)牛頓第二定律得：$mgtanθ=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
代入數(shù)據(jù)解得小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v=1.5m/s．
（2）如圖所示，在閥門k松開t時(shí)間內(nèi)，小球?qū)�從b點(diǎn)沿切線勻速運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)，然后以O(shè)c為半徑在水平桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，小球?qū)�從b點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)，有：
${L}_{bc}=vt=1.5×\frac{4}{15}m=0.4m$，
當(dāng)閥口k再次鎖緊后，此時(shí)小球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R=$\sqrt{{{L}_{bc}}^{2}+{r}^{2}}=\sqrt{0.16+0.09}$m=0.5m，如圖所示．
設(shè)此后細(xì)線與豎直方向的夾角為α，有：$tanα=\frac{R}{h}$，
設(shè)細(xì)線對小球的拉力為T，由小球的受力情況有：$Tsinα=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，Tcosα+N=mg，
代入數(shù)據(jù)解得N=17.4N．
答：（1）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為1.5m/s．
（2）小球受到水平桌面的支持力大小N為17.4N．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，知道小球在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力．