Question

14．如圖，AB為傾角θ=37°的光滑斜面軌道，BP為豎直光滑圓弧軌道，圓心角為143°、半徑R=0.4m，兩軌道相切于B點(diǎn)，P、O兩點(diǎn)在同一豎直線上．輕彈簧一端固定在A點(diǎn)，另一自由端在斜面上C點(diǎn)處，現(xiàn)有一質(zhì)量m=2.0kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）在外力作用下將彈簧緩慢壓縮到D點(diǎn)后（不拴接）靜止釋放，恰能沿軌道到達(dá)P點(diǎn)．已知CD=0.2m，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．求：
（1）物塊經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速度大小v_p；
（2）若BC=1.0m，彈簧在D點(diǎn)時(shí)的彈性勢能E_p；
（3）為保證物塊沿原軌道返回，BC的長度至少多大．

Answer 1

分析 （1）物塊恰好能到達(dá)最高點(diǎn)P，由重力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出物塊經(jīng)過P點(diǎn)的速度．
（2）物塊從D到P的過程，利用能量守恒定律求出彈簧在D點(diǎn)時(shí)的彈性勢能E_p．
（2）為保證物塊沿原軌道返回，物塊滑到與圓弧軌道圓心等高處時(shí)速度剛好為零，根據(jù)能量守恒定律求BC的最小長度．

解答 解：（1）物塊恰好能到達(dá)最高點(diǎn)P，由重力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
解得：v_P=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.4}$=2m/s
（2）物塊從D到P的過程，由機(jī)械能守恒定律得：
E_p=mg（s_DC+s_CB）sin37°+mgR（1+cos37°）+$\frac{1}{2}$mv_P²．
代入數(shù)據(jù)解得：E_p=32.8J
（3）為保證物塊沿原軌道返回，物塊滑到與圓弧軌道圓心等高處時(shí)速度剛好為零，根據(jù)能量守恒定律得：
E_p=mg（s_DC+s′_CB）sin37°+mgR（1+cos37°）
解得：s′_CB=2.0m
答：（1）物塊經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速度大小v_p是2m/s．
（2）若BC=1.0m，彈簧在D點(diǎn)時(shí)的彈性勢能E_p是32.8J．
（3）為保證物塊沿原軌道返回，BC的長度至少是2.0m．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律的綜合，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，即徑向的合力提供向心力．