Question

6．如圖所示，豎直放置的導(dǎo)熱氣缸，活塞橫截面積為S=0.01m²，可在氣缸內(nèi)無(wú)摩擦滑動(dòng)，氣缸側(cè)壁有一個(gè)小孔與裝有水銀的U形玻璃管相通，氣缸內(nèi)封閉了一段高為H=70cm的氣柱（U形管內(nèi)的氣體體積不計(jì)）．已知活塞質(zhì)量m=6.8kg，大氣壓強(qiáng)p₀=10⁵Pa，水銀密度ρ=13.6×10³kg/m³，g=10m/s²．
（1）求U形管中左管與右管的水銀面的高度差h₁；
（2）在活塞上加一豎直向上的拉力使U形管中左管水銀面高出右管水銀面h₂=5cm，求活塞平衡時(shí)與氣缸底部的高度．

Answer 1

分析 （1）對(duì)活塞受力分析，根據(jù)平衡條件求解封閉氣體的壓強(qiáng)，再根據(jù)壓強(qiáng)關(guān)系求出左右管水銀面的高度差；
（2）分析初末狀態(tài)的體積和壓強(qiáng)，根據(jù)等溫變化列式求解．

解答 解：（1）以活塞為研究對(duì)象，${p}_{0}^{\;}S+mg=pS$
得$p={p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}$
而$p={p}_{0}^{\;}+ρg{h}_{1}^{\;}$
所以有：$\frac{mg}{S}=ρg{h}_{1}^{\;}$
解得：${h}_{1}^{\;}=\frac{m}{ρS}$=$\frac{6.8}{13.6×1{0}_{\;}^{3}×0.01}$=0.05m=5cm
（2）活塞上加一豎直向上的拉力，U形管中左管水銀面高出右管水銀面${h}_{2}^{\;}=5cm$
封閉氣體的壓強(qiáng)$p={p}_{0}^{\;}-ρg{h}_{2}^{\;}$=1×$1{0}_{\;}^{5}-13.6×1{0}_{\;}^{3}×10×0.05$=93200${p}_{a}^{\;}$
初始時(shí)封閉氣體的壓強(qiáng)為：${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}=106800{p}_{a}^{\;}$
汽缸內(nèi)的氣體發(fā)生的是等溫變化，根據(jù)玻意耳定律，有：${p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}={p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}$
代入數(shù)據(jù)：106800×70S=93200×hS
解得：h=80cm
答：（1）U形管中左管與右管的水銀面的高度差${h}_{1}^{\;}$為5cm；
（2）在活塞上加一豎直向上的拉力使U形管中左管水銀面高出右管水銀面h₂=5cm，活塞平衡時(shí)與氣缸底部的高度為80cm

點(diǎn)評(píng) 本題力學(xué)知識(shí)與氣體性質(zhì)的綜合，橋梁是壓強(qiáng)．往往對(duì)跟氣體接觸的水銀或活塞研究，根據(jù)平衡條件或牛頓第二定律研究氣體的壓強(qiáng)．