Question

從地面上以初速度v豎直向上拋出一質(zhì)量為m的球，若運(yùn)動過程中受到的空氣阻力與其速率成正比關(guān)系，球運(yùn)動的速率隨時間變化規(guī)律如圖所示，t₁時刻到達(dá)最高點(diǎn)，再落回地面，落地時速率為v₁，且落地前球已經(jīng)做勻速運(yùn)動．求：

（1）球從拋出到落地過程中克服空氣阻力所做的功；
（2）球拋出瞬間的加速度大小；
（3）球上升的最大高度H．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接運(yùn)用動能定理可求解球從拋出到落地過程中克服空氣阻力所做的功-．
（2）落地前勻速運(yùn)動，則mg-kv₁=0．剛拋出時加速度大小為a，則根據(jù)牛頓第二定律mg+kv=ma，即可解得球拋出瞬間的加速度大小a．
（3）上升時根據(jù)牛頓第二定律-（mg+kv）=ma可計算加速度a，取極短△t時間，速度變化△v，有：△v=a△t，上升全程∑△v=0-v=∑a△t，把a(bǔ)值代入，分析計算，可求得球上升的最大高度H．
解答：解：（1）由動能定理得

克服空氣阻力做功

（2）空氣阻力f=kv
落地前勻速運(yùn)動，則mg-kv₁=0
剛拋出時加速度大小為a，則
mg+kv=ma
解得
（3）上升時加速度為a，-（mg+kv）=ma

取極短△t時間，速度變化△v，有：

又v△t=△h
上升全程
則

答：（1）球從拋出到落地過程中克服空氣阻力所做的功為；
（2）球拋出瞬間的加速度大小為；
（3）球上升的最大高度H為．
點(diǎn)評：本題綜合運(yùn)用了動能定理和牛頓運(yùn)動定律，運(yùn)用動能定理和牛頓運(yùn)動定律解題注意要合理地選擇研究的過程，列表達(dá)式求解．本題第（3）問較難，對數(shù)學(xué)的要求較高．