Question

4．宇宙中有兩顆相距無限遠的恒星S₁、S₂，半徑均為R₀．如圖分別是兩顆恒星周圍行星的公轉半徑r³與公轉周期T²的圖象，其中r³為橫軸，T²為縱軸．則（　　）

• A． 恒星S₁的質量大于恒星S₂的質量
• B． 恒星S₁的密度小于恒星S₂的密度
• C． 距兩恒星表面高度相同的行星，S₁的行星向心加速度較大
• D． 恒星S₁的第一宇宙速度小于恒星S₂的第一宇宙速度

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力，得出衛(wèi)星的周期與恒星的質量、半徑之間的關系，然后進行比較；
結合萬有引力提供向心力，分別寫出第一宇宙速度的表達式，然后比較它們的大小關系．

解答 解：A、由題圖可知，當繞恒星運動的行星的環(huán)繞半徑相等時，S₁運動的周期比較大，根據公式：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}r}}{T^2}$所以：M=$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$；
故周期越大則質量越小，所以恒星S₁的質量小于恒星S₂的質量．故A錯誤；
B、兩顆恒星的半徑相等，則根據M=ρV，半徑R₀相等則它們的體積相等，所以質量大S₂的密度大，故B正確；
C、距恒星表面一定高度的行星，向心加速度大小設為a，根據牛頓第二定律，有：ma=$G\frac{Mm}{r^2}$；
由于恒星S₁的質量小于恒星S₂的質量，所以S₁的行星向心加速度較小，故C錯誤；
D、根據萬有引力提供向心力，則：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$，所以：v=${\sqrt{\frac{GM}{R}}}$；
由于恒星S₁的質量小于恒星S₂的質量，所以恒星S₁的第一宇宙速度小于恒星S₂的第一宇宙速度．故D正確；
故選：BD

點評 該題考查萬有引力定律的應用，由于兩個恒星的半徑均為R₀，又可以根據圖象，結合萬有引力定律比較半徑和周期之間的關系．當然也可以結合開普勒第三定律分析半徑與周期之間的關系．