Question

如圖所示，光滑軌道的DP段為水平軌道，PQ段為半徑是R的豎直半圓軌道，半圓軌道的下端與水平的軌道的右端相切于P點(diǎn)，一輕質(zhì)彈簧左端A固定，另一端拴接一個(gè)質(zhì)量為m的小球B，質(zhì)量也為m的小球C靠在B球的右側(cè)，現(xiàn)用外力作用在C上，使彈簧被壓縮了0.4R（彈簧仍在彈性限度內(nèi)）．這時(shí)小球靜止于距離P端3R的水平軌道上，若撤去外力，C球運(yùn)動(dòng)到軌道的最高點(diǎn)Q后又恰好落回到原出發(fā)點(diǎn)．已知重力加速度為g．求

（1）小球C運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力多大？
（2）撤去外力前的瞬間，彈簧的彈性勢(shì)能E_P是多少？

Answer 1

分析：（1））彈簧和B、C兩個(gè)球的組成的系統(tǒng)能量守恒，B、C脫離彈簧時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為B、C球的動(dòng)能，C球在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，離開(kāi)Q點(diǎn)之后C球做的是平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得小球在Q點(diǎn)的速度的大小，從而由牛頓第二定律可以求得C球到Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力．
（2）撤去外力前的瞬間，彈簧的彈性勢(shì)能作用下，B、C兩球獲得動(dòng)能，因此借助平拋運(yùn)動(dòng)求出C球拋出速度，再由機(jī)械能守恒算出小球C被彈出的速度，從而根據(jù)能量守恒，確定撤去外力時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能．

解答：解：（1）設(shè)小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)Q時(shí)的速度為v，
由平拋規(guī)律有：豎直方向 2R=

1

2

gt2
水平方向：3R=vt
聯(lián)立兩式得：v=

3

2

gR

小球C在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得：FN+mg=m

v2

R

解得：FN=

5

4

mg
（2）設(shè)小球C離開(kāi)小球B時(shí)的速度為v₀，只有重力做功，小球機(jī)械能守恒．
由機(jī)械能守恒有：

1

2

m

v

2 0

=

1

2

mv2+2mgR
彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)脫離，則由能量守恒有：EP=

1

2

×2m

v

2 0

聯(lián)立上述各式得：EP=

5

2

mgR
答：（1）小球C運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力

5

4

mg；
（2）撤去外力前的瞬間，彈簧的彈性勢(shì)能E_P是

5

2

mgR．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了能量的轉(zhuǎn)化和守恒，同時(shí)還有機(jī)械能守恒和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)學(xué)生的能力要求較高．