Question

16．鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的，彎道處要求外軌比內(nèi)軌高，其內(nèi)外高度差h的設計不僅與r有關，還取決于火車在彎道上的行駛速率．下表中是鐵路設計人員技術手冊中彎道半徑r及與之相對應的軌道的高度差h．

彎道半徑r/m	660	330	220	165	132	110
內(nèi)外軌高度差h/mm	50	100	150	200	250	300

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試導出h與r關系的表達式，并求出當r=440m時，h的設計值．
（2）鐵路建成后，火車通過彎道時，為保證絕對安全，要求內(nèi)外軌道均不向車輪施加側(cè)向壓力，又已知我國鐵路內(nèi)外軌的間距設計值為L=1.500m，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，算出我國火車的轉(zhuǎn)彎速率（路軌傾角很小時，正弦值按正切值處理，結(jié)果可用根號表示，g=10m/s²）．
（3）隨著人們生活節(jié)奏加快，對交通運輸?shù)目旖萏岢隽烁�高的要求，為了提高運輸能力，國家對鐵路不斷進行提速，這就要求鐵路轉(zhuǎn)彎速率也需要提高，請根據(jù)上述計算原理和上述表格分析提速時應采取怎樣的有效措施．

Answer 1

分析 （1）由于660×50=330×100=220×150為定值即hr=33m²，故可以求出當r=440m時h的設計值；
（2）因為火車運動的軌跡圓沿水平方向，轉(zhuǎn)彎中，當內(nèi)外軌對車輪沒有側(cè)向壓力時，軌道的支持力在豎直方向的分力平衡重力，在水平方向的分力恰好提供向心力，故有mgtanθ=$m\frac{{v}^{2}}{r}$，再根據(jù)當θ很小，有：$tanθ≈sinθ=\frac{h}{L}$，即可求出火車轉(zhuǎn)彎的速率v．
（3）根據(jù)（2）中速率v的表達式即可找到可采取的有效措施．

解答 解：（1）分析表中數(shù)據(jù)可得，
h•r=660×50×10^-3 m²=33 m²
當r=440 m時，有
$h=\frac{33}{440}m=0.075m=75mm$．
（2）火車轉(zhuǎn)彎時，若車輪對鐵軌沒有側(cè)向壓力，則火車的受力如圖所示，由牛頓第二定律得，
mgtanθ=$m\frac{{v}^{2}}{r}$   ①
根據(jù)題意，因為θ很小，所以有
$tanθ≈sinθ=\frac{h}{L}$    ②
①②聯(lián)立得v=$\sqrt{\frac{ghr}{L}}$
代入數(shù)據(jù)得v=$\sqrt{\frac{10×33}{1.5}}m/s=\sqrt{220}m/s$=$2\sqrt{55}$m/s．
（3）有效措施有：①適當增大內(nèi)外軌的高度差h；      ②適當增大鐵路彎道的軌道半徑r．
答：（1）h的設計值為75mm；
（2）我國火車的轉(zhuǎn)彎速率為$2\sqrt{55}$m/s；
（3）①適當增大內(nèi)外軌的高度差h； ②適當增大鐵路彎道的軌道半徑r．

點評 軌道的支持力在豎直方向的分力平衡重力，在水平方向的分力提供向心力，一定不能沿斜面和垂直于斜面分解重力，因為火車運動的軌跡圓沿水平方向而不是沿斜面方向．