Question

12．如圖，A為太陽(yáng)系中的天王星，它可視為繞太陽(yáng)O做軌道半徑為R₀，周期為T₀的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，天文學(xué)家長(zhǎng)期觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，天王星實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌道與圓軌道總有一些偏離，且每隔t₀時(shí)間發(fā)生一次最大偏離，形成這種現(xiàn)象的原因可能是天王星外側(cè)還存在一顆未知的行星B，假設(shè)行星B與A在同一平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同，它對(duì)天王星的萬(wàn)有引力引起天王星軌道的偏離，由此可知推測(cè)未知行星的運(yùn)動(dòng)軌道半徑是（　�。�

• A． R₀$\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-T}$
• B． R₀$\sqrt{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{3}}$
• C． R₀$\root{3}{（\frac{{t}_{0}-{T}_{0}}{{t}_{0}}）^{2}}$
• D． R₀$\root{3}{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-T}）^{2}}$

Answer 1

分析 A行星實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌道與圓軌道總有一些偏離，且周期每隔t₀時(shí)間發(fā)生一次最大偏離，知每隔t₀時(shí)間A、B兩行星相距最近，可以求出B的周期，再根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，得出軌道半徑．

解答 解：周期每隔t₀時(shí)間發(fā)生一次最大偏離，知每隔t₀時(shí)間A、B兩行星相距最近，即每隔t₀時(shí)間A行星比B行星多運(yùn)行一圈．有：$\frac{2π}{{T}_{0}}{t}_{0}-\frac{2π}{{T}_{B}}{t}_{0}=2π$，
則${T}_{B}=\frac{{t}_{0}{T}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$，
根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，
所以$\frac{{r}_{B}}{{R}_{0}}=\root{3}{\frac{{{T}_{B}}^{2}}{{{T}_{0}}^{2}}}$，
解得r_B=${R}_{0}\root{3}{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{2}}$，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道每隔t₀時(shí)間發(fā)生一次最大偏離，知每隔t₀時(shí)間A、B兩行星相距最近，而得出每隔t₀時(shí)間A行星比B行星多運(yùn)行一圈．以及會(huì)利用萬(wàn)有引力提供向心力．