Question

如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，虛線OM與x軸成45°角，在OM與x軸之間（包括x軸）存在垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在y軸與OM之間存在豎直向下、電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，有一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電的粒子以某速度沿x軸正方向從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)區(qū)域并發(fā)生偏轉(zhuǎn)，不計(jì)帶電粒子的重力和空氣阻力，在帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)到第二次離開電場(chǎng)的過程中，求
（1）若帶電粒子從O點(diǎn)以速度V₁進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，求帶電粒子第一次離開磁場(chǎng)的位置到O點(diǎn)的距離？
（2）若帶電粒子第二次離開電場(chǎng)時(shí)恰好經(jīng)過O點(diǎn)，求粒子最初進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度V的大�。坎⒂懻摦�(dāng)V變化時(shí)，粒子第二次離開電場(chǎng)時(shí)速度大小與V大小的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中，受到洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和向心力公式求出粒子的軌跡半徑，畫出軌跡，由幾何知識(shí)求粒子第一次離開磁場(chǎng)的位置到O點(diǎn)的距離；
（2）帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)做類平拋運(yùn)動(dòng)，第二次離開電場(chǎng)時(shí)恰好經(jīng)過O點(diǎn)，畫出軌跡，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的初速度大小，即是粒子最初進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度V的大�。�再討論當(dāng)V變化時(shí)，粒子第二次離開電場(chǎng)時(shí)速度大小與V大小的關(guān)系．

解答：解：（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中，受到洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得
    qv₁B=m

v 2 1

R

得軌跡半徑 R=

mv1

qB

設(shè)粒子從N點(diǎn)離開磁場(chǎng)，如圖，由幾何知識(shí)知，ON=

2

R=

2 mv1

qB

（2）帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)做類平拋運(yùn)動(dòng)，第二次離開電場(chǎng)時(shí)恰好經(jīng)過O點(diǎn)，畫出軌跡，則
   水平位移  x=2R=vt
   豎直位移  y=2R=

1

2

at2
  而a=

qE

m

聯(lián)立得：v=

E

B

討論：
i）若v＞

E

B

，則粒子從y軸離開電場(chǎng)，水平位移為x=2R=

2mv

qB

=vt，得t=

2m

qB

離開電場(chǎng)時(shí)豎直分速度v_y=at=

qE

m

?

2m

qB

=

2E

B

帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)速度大小為u=

v 2 y +v2

=

4E2 B2 +v2

；
ii）若v＜

E

B

，則粒子從OM邊界離開電場(chǎng)，粒子在x、y兩個(gè)方向的分位移相等．
   x=vt
   y=

vy

2

t
則得v_y=2v
所以粒子離開電場(chǎng)時(shí)速度大小為u=

v 2 y +v2

=

5

v．
答：
（1）若帶電粒子從O點(diǎn)以速度V₁進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，帶電粒子第一次離開磁場(chǎng)的位置到O點(diǎn)的距離為

2 mv1

qB

．
（2）若帶電粒子第二次離開電場(chǎng)時(shí)恰好經(jīng)過O點(diǎn)，粒子最初進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度V的大小為

E

B

．當(dāng)V變化時(shí)，粒子第二次離開電場(chǎng)時(shí)速度大小與V大小的關(guān)系如下：
i）若v＞

E

B

，則粒子帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)速度大小為u=

4E2 B2 +v2

；
ii）若v＜

E

B

，則粒子離開電場(chǎng)時(shí)速度大小為u=

5

v．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，解題關(guān)鍵是畫出軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)分析求解．