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6.簡諧運動是我們研究過的一種典型運動方式.
(1)一個質(zhì)點做機械振動,如果它的回復(fù)力與偏離平衡位置的位移大小成正比,而且方向與位移方向相反,就能判定它是簡諧運動.如圖1所示,將兩個勁度系數(shù)分別為k1和k2的輕質(zhì)彈簧套在光滑的水平桿上,彈簧的兩端固定,中間接一質(zhì)量為m的小球,此時兩彈簧均處于原長.現(xiàn)將小球沿桿拉開一段距離后松開,小球以O(shè)為平衡位置往復(fù)運動.請你據(jù)此證明,小球所做的運動是簡諧運動.
(2)以上我們是以回復(fù)力與偏離平衡位置的位移關(guān)系來判斷一個運動是否為簡諧運動.但其實簡諧運動也具有一些其他特征,如簡諧運動質(zhì)點的運動速度v與其偏離平衡位置的位移x之間的關(guān)系就都可以表示為v2=v02-ax2,其中v0為振動質(zhì)點通過平衡位置時的瞬時速度,a為由系統(tǒng)本身和初始條件所決定的不變的常數(shù).請你證明,圖2中小球的運動也滿足上述關(guān)系,并說明其關(guān)系式中的a與哪些物理量有關(guān).已知彈簧的彈性勢能可以表達為12kx2,其中k是彈簧的勁度系數(shù),x是彈簧的形變量.
(3)一質(zhì)點沿順時針方向以速度v0做半徑為R的勻速圓周運動,如圖所示.請結(jié)合第(2)問中的信息,分析論證小球在x方向上的分運動是否符合簡諧運動這一特征.

分析 (1)根據(jù)胡克定律即可寫出出小球偏離平衡位置的位移大小為x時合外力F的表達式;
(2)根據(jù)小球做簡諧運動時的機械能守恒即可寫出;
(3)將質(zhì)點的運動沿坐標(biāo)軸的x方向與y方向分解,結(jié)合速度的分解關(guān)系即可證明.

解答 證明:(1)若小球向右偏離的位移為x,選取向右為正方向,由胡克定律可得,小球受到的合外力:F=-(k1+k2)x
由于k1和k2都是常數(shù),所以小球受到的合外力與位移成正比,小球做簡諧振動.
(2)小球運動的過程中的機械能包括小球的動能與彈簧的彈性勢能,小球運動的過程中系統(tǒng)的機械能守恒,設(shè)小球偏離O點的最大位移為A,則通過平衡位置時:
12mv20=12k1A2+12k2A2
若小球向右偏離的位移為x時的速度為v,則:
12mv2+12k1x2+12k2x2=12mv20
即:v2=v20k1+k2x2=v20ax2
可知其中a等于兩個彈簧的勁度系數(shù)的和,初速度的大小與開始時的振幅有關(guān).
(3)當(dāng)質(zhì)點水平方向的位移為x時,質(zhì)點速度與x軸之間的夾角設(shè)為θ,將質(zhì)點的速度沿x軸方向與y軸方向分解如圖,則:

vy=v0cosθ
而:cosθ=\frac{x}{R}
根據(jù)合速度與分速度的關(guān)系可知:{v}_{0}^{2}={v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}
整理可得:{v}_{x}^{2}={v}_{0}^{2}-{v}_{0}^{2}•\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}={v}_{0}^{2}-\frac{{v}_{0}^{2}}{{y}^{2}}•{x}^{2}={v}_{0}^{2}-a{x}^{2}
可知小球在x方向上的分運動符合簡諧運動這一特征.
證畢.

點評 該題結(jié)合簡諧振動的特點考查多個知識點的內(nèi)容,涉及的數(shù)學(xué)的知識比較多,在證明的過程中要注意知識的遷移.

練習(xí)冊系列答案
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19.如圖甲、乙、丙、丁所示,下列關(guān)于機械能是否守恒的判斷正確的是( �。�
A.
圖中,物體 A 將彈簧壓縮的過程中,A 的機械能守恒.
B.
圖中,A 置于光滑水平面上,物體 B 沿光滑斜面下滑,物體 B 機械能守恒.
C.
圖中,不計任何阻力和定滑輪質(zhì)量時 A 加速下落,B 加速上升過程中,A 機械能守恒.
D.
圖中,被輕彈簧一端系住的小球 A 運動到最低點的過程中,小球的機械能不守恒.

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16.關(guān)于鏈?zhǔn)椒磻?yīng)與裂變反應(yīng)堆的下列說法正確的是(  )
A.太小的鈾塊不會產(chǎn)生鏈?zhǔn)椒磻?yīng)
B.反應(yīng)堆中的減速劑用來控制鏈?zhǔn)椒磻?yīng)速率
C.反應(yīng)堆中的燃料棒要用純鈾235
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2.光電門是一種可以測量物體瞬時速度的器材
(1)某次寬為1.6cm的小鐵片通過光電門,計時器上顯示時間是0.016s,則小鐵片通過光電門時的瞬時速度大小為1 m/s.
(2)利用兩個光電門和上述小鐵片可以研究勻加速度直線運動.如圖,將鐵片固定在滑塊上,滑塊自由滑下后光電門1的計時器上顯示0.032s,已知兩光電門之間的距離l=0.3m,滑塊下滑的加速度0.4m/s2,則光電門2的計時器上顯示應(yīng)最接近D 
A.0.030s
B.0.028s
C.0.025s
D.0.023s.

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11.下列說法正確的是(  )
A.熱量可能從低溫物體傳遞到高溫物體
B.對物體做功不能使物體的溫度升高
C.機械能大的物體內(nèi)能一定大
D.溫度相同的氫氣和氮氣,氫氣分子和氮氣分子的平均動能相同

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18.下列說法正確的是( �。�
A.恒定電流是指大小、方向都不隨時間變化的電流
B.白熾燈在正常發(fā)光時,“220V 15W”的燈泡電阻比“220V 60W”的燈泡電阻小
C.導(dǎo)體的電阻與構(gòu)成它的材料無關(guān)
D.電動機正常工作時消耗的電功率等于其發(fā)熱的功率

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14.如圖所示,質(zhì)量為60kg的滑雪運動員,在斜坡頂端從靜止開始勻加速下滑90m到達坡底,用時10s.若g取10m/s2,求:
(1)運動員下滑過程中的加速度大�。�
(2)運動員受到的合外力大�。�

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15.在“驗證機械能守恒定律”的實驗中,打點計時器電源頻率50Hz,當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹禐?.80m/s2.下落物體的質(zhì)量為1.00kg.若實驗中測得連續(xù)三個計時點A、B、C到第一個點的距離如圖所示.則:
(1)打B點時,重物下落的速度為0.98m/s.
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