Question

14．暗物質是二十一世紀物理學之謎，對該問題的研究可能帶來一場物理學的革命．為了探測暗物質，我國在2015年12月17日成功發(fā)射了一顆被命名為“悟空”的暗物質探測衛(wèi)星．已知“悟空”在低于同步衛(wèi)星的軌道上繞地球做勻速圓周運動，經(jīng)過時間t（t小于其運動周期），運動的弧長為s，與地球中心連線掃過的角度為β（弧度），引力常量為G，則下列說法中錯誤的是（　　）

• A． “悟空”的線速度小于第一宇宙速度
• B． “悟空”的向心加速度大于地球同步衛(wèi)星的向心加速度
• C． “悟空”的環(huán)繞周期為$\frac{2πt}{β}$
• D． “悟空”的質量為$\frac{{s}^{3}}{G{t}^{2}β}$

Answer 1

分析 第一宇宙速度是衛(wèi)星繞地球圓周運動最大的運行速度．已知“悟空”經(jīng)過時間t（t小于其運行的周期），它運動的弧長為s，它與地球中心連線掃過的角度為β（弧度），根據(jù)線速度和角速度定義可求得“悟空”的線速度和角速度，然后根據(jù)v=ωr可求得軌道半徑；根據(jù)萬有引力提供向心力可求得地球的質量．

解答 解：A、衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時，由地球的萬有引力提供向心力，則有：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，可知衛(wèi)星的軌道半徑越大，速率越小，第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，故“悟空”在軌道上運行的速度小于地球的第一宇宙速度，故A正確；
B、由G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma得 a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，“悟空”的軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，由此式可知，“悟空”的向心加速度大于地球同步衛(wèi)星的向心加速度，故B正確．
C、“悟空”經(jīng)過時間t（t小于其運行的周期），它運動的弧長為s，它與地球中心連線掃過的角度為β（弧度），
則“悟空”運行的線速度為 v=$\frac{s}{t}$，角速度為：ω=$\frac{β}{t}$，則周期為 T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2πt}{β}$，故C正確．
D、根據(jù)v=ωr得“悟空”的軌道半徑為：r=$\frac{v}{ω}$=$\frac{s}{β}$
“悟空”繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，則有 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，聯(lián)立解得：地球的質量為 M=$\frac{{s}^{3}}{G{t}^{2}β}$，不能求出“悟空”的質量．故D錯誤；
本題選錯誤的，故選：D

點評 本題考查勻速圓周運動的線速度和角速度的定義，以及其關系．關鍵要抓住“悟空”繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，可求得中心天體的質量，不能求旋轉天體的質量．