Question

14．暗物質(zhì)是二十一世紀(jì)物理學(xué)之謎，對(duì)該問(wèn)題的研究可能帶來(lái)一場(chǎng)物理學(xué)的革命．為了探測(cè)暗物質(zhì)，我國(guó)在2015年12月17日成功發(fā)射了一顆被命名為“悟空”的暗物質(zhì)探測(cè)衛(wèi)星．已知“悟空”在低于同步衛(wèi)星的軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t（t小于其運(yùn)動(dòng)周期），運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)為s，與地球中心連線掃過(guò)的角度為β（弧度），引力常量為G，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（　　）

• A． “悟空”的線速度小于第一宇宙速度
• B． “悟空”的向心加速度大于地球同步衛(wèi)星的向心加速度
• C． “悟空”的環(huán)繞周期為$\frac{2πt}{β}$
• D． “悟空”的質(zhì)量為$\frac{{s}^{3}}{G{t}^{2}β}$

Answer 1

分析 第一宇宙速度是衛(wèi)星繞地球圓周運(yùn)動(dòng)最大的運(yùn)行速度．已知“悟空”經(jīng)過(guò)時(shí)間t（t小于其運(yùn)行的周期），它運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)為s，它與地球中心連線掃過(guò)的角度為β（弧度），根據(jù)線速度和角速度定義可求得“悟空”的線速度和角速度，然后根據(jù)v=ωr可求得軌道半徑；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可求得地球的質(zhì)量．

解答 解：A、衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由地球的萬(wàn)有引力提供向心力，則有：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，可知衛(wèi)星的軌道半徑越大，速率越小，第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，故“悟空”在軌道上運(yùn)行的速度小于地球的第一宇宙速度，故A正確；
B、由G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma得 a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，“悟空”的軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，由此式可知，“悟空”的向心加速度大于地球同步衛(wèi)星的向心加速度，故B正確．
C、“悟空”經(jīng)過(guò)時(shí)間t（t小于其運(yùn)行的周期），它運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)為s，它與地球中心連線掃過(guò)的角度為β（弧度），
則“悟空”運(yùn)行的線速度為 v=$\frac{s}{t}$，角速度為：ω=$\frac{β}{t}$，則周期為 T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2πt}{β}$，故C正確．
D、根據(jù)v=ωr得“悟空”的軌道半徑為：r=$\frac{v}{ω}$=$\frac{s}{β}$
“悟空”繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力提供向心力，則有 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，聯(lián)立解得：地球的質(zhì)量為 M=$\frac{{s}^{3}}{G{t}^{2}β}$，不能求出“悟空”的質(zhì)量．故D錯(cuò)誤；
本題選錯(cuò)誤的，故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度和角速度的定義，以及其關(guān)系．關(guān)鍵要抓住“悟空”繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力提供向心力，可求得中心天體的質(zhì)量，不能求旋轉(zhuǎn)天體的質(zhì)量．