Question

1．如圖所示，粗糙軌道AB和兩個(gè)光滑半圓軌道組成的S形軌道．光滑半圓軌道半徑為R，兩個(gè)光滑半圓軌道連接處CD之間留有很小空隙，剛好能夠使小球通過，CD之間距離可忽略，粗糙軌道最高點(diǎn)A與水平面上B點(diǎn)之間的高度為5R．從A點(diǎn)靜止釋放一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，小球沿S形軌道恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)E后且從E點(diǎn)水平飛出．已知小球質(zhì)量m，不計(jì)空氣阻力，求：
（1）小球落點(diǎn)到與E點(diǎn)在同一豎直線上B點(diǎn)的距離x為多少；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到半圓軌道的B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力；
（3）小球從A至E運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦阻力做的功．

Answer 1

分析 （1）小球沿S形軌道恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)E時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球通過E點(diǎn)的速度．小球從E點(diǎn)飛出做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求水平位移x．
（2）在B點(diǎn)，沿半徑方向上的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對球的彈力，從而根據(jù)牛頓第三定律求出小球?qū)�軌道的壓力�?br />（3）小球從A至E運(yùn)動(dòng)過程中，根據(jù)動(dòng)能定理求出小球沿軌道運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力所做的功．

解答 解：（1）設(shè)小球從E點(diǎn)水平飛出時(shí)的速度大小為v_E
恰好到達(dá)E點(diǎn)時(shí)，有 mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
得 v_E=$\sqrt{gR}$
從E點(diǎn)水平飛出做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律：x=v_Et
  4R=$\frac{1}{2}$gt²
聯(lián)立解得 x=2$\sqrt{2}$R
（2）小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒定律：
  mg•4R+$\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
解得 v_B=3$\sqrt{gR}$
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：F=10mg
由牛頓第三定律知小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小為 F′=F=10mg，方向豎直向下．
（3）設(shè)小球沿S形軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)克服摩擦力做的功為W_f，A→E的過程，由動(dòng)能定理得：
 mg（5R-4R）-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
得：W_f=$\frac{1}{2}$mgR
答：
（1）小球落點(diǎn)到與E點(diǎn)在同一豎直線上B點(diǎn)的距離x為$\sqrt{gR}$；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到半圓軌道的B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力是10mg，方向豎直向下；
（3）小球從A至E運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦阻力做的功是$\frac{1}{2}$mgR．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵理清運(yùn)動(dòng)的過程，抓住每個(gè)過程和狀態(tài)的規(guī)律，綜合運(yùn)用牛頓定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律和動(dòng)能定理進(jìn)行解題．