Question

11．如圖所示，傾角30°的光滑斜面上，輕質(zhì)彈簧兩端連接著兩個(gè)質(zhì)量均為m=1kg的物塊B和C，C緊靠著擋板P，B通過(guò)輕質(zhì)細(xì)繩跨過(guò)光滑定滑輪與質(zhì)量M=8kg的物塊A連接，細(xì)繩平行于斜面，A在外力作用下靜止在圓心角為60°、半徑R=2m的$\frac{1}{6}$的光滑圓弧軌道的頂端a處，此時(shí)繩子恰好拉直且無(wú)張力；圓弧軌道最低端b與粗糙水平軌道bc相切，bc與一個(gè)半徑r=0.2m的光滑圓軌道平滑連接．由靜止釋放A，當(dāng)A滑至b時(shí)，C恰好離開(kāi)擋板P，此時(shí)繩子斷裂．已知A與bc間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，重力加速度取g=10m/s²，彈簧的形變始終在彈性限度內(nèi)，細(xì)繩不可伸長(zhǎng)．
（1）求彈簧的勁度系數(shù)；
（2）求物塊A滑至b處，繩子斷后瞬間，A對(duì)圓軌道的壓力大��；
（3）為了讓物塊A能進(jìn)入圓軌道且不脫軌，則bc間的距離應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A在a處和b處，ABC的受力和位置關(guān)系求得兩次彈簧形變量的關(guān)系和彈簧彈力，進(jìn)而由胡克定律求得勁度系數(shù)；
（2）根據(jù)能量守恒求得A在b處的速度，然后應(yīng)用牛頓第二定律求得A受到的支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力；
（3）根據(jù)物塊A能進(jìn)入圓軌道且不脫軌得到A可能到達(dá)的位置及速度，然后由機(jī)械能守恒得到A在c處的動(dòng)能，即可根據(jù)動(dòng)能定理求得bc距離．

解答 解：（1）A在a處時(shí)，繩子拉直無(wú)張力，彈簧壓縮，設(shè)壓縮量為x₁，彈簧彈力為${F}_{1}=k{x}_{1}=mgsin30°=\frac{1}{2}mg$；
A在b處時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)，設(shè)伸長(zhǎng)量為x₂，那么，x₁+x₂=R=2m；又有當(dāng)A滑至b時(shí)，C恰好離開(kāi)擋板P，所以，彈簧彈力F₂=kx₂=mgsin30°=$\frac{1}{2}mg$；
所以，F(xiàn)₁+F₂=k（x₁+x₂）=2k（N），所以，$k=\frac{1}{2}mg（N/m）=5N/m$；
（2）A從a到b過(guò)程由，ABC及彈簧系統(tǒng)只有重力、彈簧彈力做功，且A在a處和b處，彈簧的形變量相同，故彈性勢(shì)能不變，彈簧彈力做功為零；那么，ABC及彈簧系統(tǒng)機(jī)械能守恒；
設(shè)A在b處的速度為v_b，那么，B的速度為A的速度在沿繩子方向的分速度，故B的速度${v}_{B}={v}_cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_$，則由動(dòng)能定理可得：$Mg（R-Rcos60°）-mg（{x}_{1}+{x}_{2}）sin30°=\frac{1}{2}M{{v}_}^{2}$$+\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
所以，v_b=4m/s；
對(duì)物塊A滑至b處，繩子斷后瞬間應(yīng)用牛頓第二定律，則有${F}_{N}-Mg=\frac{M{{v}_}^{2}}{R}$，所以，${F}_{N}=Mg+\frac{M{{v}_}^{2}}{R}=144N$；
故由牛頓第三定律可知：物塊A滑至b處，繩子斷后瞬間，A對(duì)圓軌道的壓力大小為144N；
（3）為了讓物塊A能進(jìn)入圓軌道且不脫軌，那么，物塊A在圓軌道上可能達(dá)到的最高點(diǎn)h≤r或者h(yuǎn)=2r；
那么，當(dāng)h=2r時(shí)，對(duì)物體A在最高點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律有$\frac{Mv{′}^{2}}{r}≥Mg$；
A在圓軌道上運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒，所以，A在c處的動(dòng)能${E}_{kc1}=\frac{1}{2}Mv{′}^{2}+2Mgr≥\frac{5}{2}Mgr=40J$；
當(dāng)h≤r時(shí)，由機(jī)械能守恒可得A在c處的動(dòng)能E_kc2=Mgh，所以，A在c處的動(dòng)能為E_kc1≥40J或0≤E_kc2≤16J；
又有A在b處的動(dòng)能${E}_{kb}=\frac{1}{2}M{{v}_}^{2}=64J$；
A從b到c運(yùn)動(dòng)過(guò)程，只有摩擦力做功，且摩擦力f=μMg=8N；故由動(dòng)能定理可得：-fL_bc=E_kc-E_kb；
所以，0≤L_ab≤3m或6m≤L_bc≤8m；
答：（1）彈簧的勁度系數(shù)為5N/m；
（2）物塊A滑至b處，繩子斷后瞬間，A對(duì)圓軌道的壓力大小為144N；
（3）為了讓物塊A能進(jìn)入圓軌道且不脫軌，則bc間的距離為0≤L_ab≤3m或6m≤L_bc≤8m．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．