Question

如圖所示,固定的凹槽水平表面光滑,其內放置U形滑板N,滑板兩端為半徑R=0.45 m的1/4圓弧面,A和D分別是圓弧的端點,BC段表面粗糙,其余段表面光滑,小滑塊P₁和P₂的質量均為m,滑板的質量M=4m.P₁和P₂與BC面的動摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.10和μ₂=0.40,最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力,開始時滑板緊靠槽的左端,P₂靜止在粗糙面的B點.P₁以v₀=4.0 m/s的初速度從A點沿弧面自由滑下,與P₂發(fā)生彈性碰撞后,P₁處在粗糙面B點上,當P₂滑到C點時,滑板恰好與槽的右端碰撞并與槽牢固粘連,P₂繼續(xù)滑動,到達D點時速度為零,P₁與P₂可視為質點,取g=10 m/s².問：

（1）P₂在BC段向右滑動時,滑板的加速度為多大？

（2）BC長度為多少？N、P₁和P₂最終靜止后,P₁與P₂間的距離為多少？

Answer 1

答案   （1）0.8 m/s2      (2)1.9 m0.695 m

解析   （1）將N、P1看作整體,根據(jù)牛頓第二定律得：

μ2mg=（M+m）a                                      ①

a= m/s2=0.8 m/s2              ②

(2)設P1到達B點的速度為v,P1從A點到達B點的過程中,根據(jù)動能定理有：

mgR=mv2-mv02       `                               ③

代入數(shù)據(jù)得v=5 m/s                                       ④

因P1、P2質量相等且發(fā)生彈性碰撞,所以碰后P1、P2交換速度,即碰后P2在B點的速度為：

vB=5 m/s                                                ⑤

設P2在C點的速度為vC,P2從C點到D點過程中根據(jù)動能定理得：

-mgR=-mvC2                                            ⑥

代入數(shù)據(jù)得vC=3 m/s                                          ⑦

P2從B點到C點的過程中,N、P1、P2作為一個系統(tǒng)所受合外力為零,系統(tǒng)動量守恒,設P2到達C點時N和P1的共同速度為v′.根據(jù)動量守恒定律得：

mvB=mvC+(M+m)v′                                        ⑧

v′為滑板與槽的右端粘連前滑板和P1的共同速度.由動能定理

-μ2mgL2=mvC2-mvB2                                 ⑨

μ2mgLN=(M+m)v′2                                 ⑩

L2和LN分別為P2和滑板對地移動的距離,聯(lián)立⑧⑨⑩得BC長度

l=L2-LN=1.9 m                          

滑板與槽粘連后,P1在BC上移動的距離為l1

-μ1mgl1=0-mv12                                                 

P2在D點滑下后,在BC上移動的距離l2

mgR=μ2mgl2                                          

系統(tǒng)完全靜止時P1與P2的間距Δl=l-l1-l2=0.695 m.