Question

3．如圖所示，間距L=lm的光滑平行金屬導(dǎo)軌固定在絕緣水平面上，導(dǎo)軌左側(cè)水平，右側(cè)與水平面成θ=37°（sin37°=0.6、cos37°=0.8），兩部分導(dǎo)軌平滑連接，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，導(dǎo)軌右端連有R=0.5Ω的電阻，空間存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1T的豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．t=0時(shí)刻，有一質(zhì)量m=lkg、電阻r=0.5Ω的金屬棒以v₀=10m/s的初速度從導(dǎo)軌上某一位置PP′開(kāi)始沿導(dǎo)軌向右滑行，同時(shí)對(duì)金屬棒施加一個(gè)水平向右且垂直于金屬棒的外力F，使金屬棒做加速度大小為2m/s²的勻減速直線運(yùn)動(dòng)．已知金屬棒垂直于導(dǎo)軌且與導(dǎo)軌接觸良好，PP′距離水平導(dǎo)軌右端d=9m．在t=ls時(shí)撤去外力F，從撤去外力開(kāi)始到金屬桿運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量為4J，g取10m/s²，求：
（1）金屬桿能達(dá)到的距水平導(dǎo)軌的最大高度；
（2）從撤去外力開(kāi)始到金屬棒運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電量q．

Answer 1

分析 （1）由金屬棒在水平導(dǎo)軌做勻減速運(yùn)動(dòng)，求得撤去外力時(shí)的位置及速度；然后分析金屬棒受力，再應(yīng)用動(dòng)能定理即可求解；
（2）求得閉合電路的電流表達(dá)式，然后寫出在極短時(shí)間內(nèi)通過(guò)電阻的電量，在對(duì)整個(gè)過(guò)程進(jìn)行累加即可求解．

解答 解：（1）金屬棒在外力的作用下以初速度v₀=10m/s，加速度大小a=2m/s²減速運(yùn)動(dòng)1s的位移$x={v_0}t-\frac{1}{2}a{t^2}$=$10×1-\frac{1}{2}×2×{1}^{2}m=9m$；
故t=1s時(shí)金屬桿剛好運(yùn)動(dòng)到水平導(dǎo)軌最右端，此時(shí)速度v=v₀-at=8m/s；
撤去外力后，金屬桿沿傾斜導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度為v'，則金屬桿切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)E=BLv′cosθ=0.8v′，所以，通過(guò)金屬桿的電流$I=\frac{E}{R+r}=0.8v′$，
則安培力方向?yàn)樗�平向左，安培力大小為F=BIL=0.8v′，
則金屬桿在沿傾斜導(dǎo)軌方向上的合外力大小為F'=Fcos37°+mgsin37°=6+0.64v′（N），方向沿斜面向下，故金屬桿向上做變減速直線運(yùn)動(dòng)直至速度為零．
在此過(guò)程中，設(shè)金屬桿能上升的最大高度為h，克服安培力做功為W_安，由動(dòng)能定理得：$-{W_安}-mgh=-\frac{1}{2}m{v^2}$；
由串聯(lián)電路的焦耳定律可知：金屬桿與電阻R在相同時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等，即：Q_R=Q_r；
金屬桿克服安培力做的功等于金屬桿和電阻R產(chǎn)生的熱量之和：W_安=Q_R+Q_r；
所以，$h=\frac{\frac{1}{2}m{v}^{2}-{W}_{安}}{mg}=\frac{\frac{1}{2}m{v}^{2}-2{Q}_{R}}{mg}$=$\frac{\frac{1}{2}×1×{8}^{2}-2×4}{1×10}m=2.4m$；
（2）由（1）可知，電流I=0.8v′，那么在極短時(shí)間△t內(nèi)通過(guò)電阻R的電量為△q=I△t=0.8△s，那么在整個(gè)上滑過(guò)程金屬棒的位移$s=\frac{h}{sinθ}=\frac{2.4}{0.6}m=4m$；
所以，對(duì)整個(gè)上滑過(guò)程的電量進(jìn)行累加可得：q=0.8s=3.2C．
答：（1）金屬桿能達(dá)到的距水平導(dǎo)軌的最大高度為2.4m；
（2）從撤去外力開(kāi)始到金屬棒運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電量q為3.2C．

點(diǎn)評(píng) 在閉合電路切割磁感線的問(wèn)題中，一般由速度求得電動(dòng)勢(shì)，再根據(jù)電路求得電流，進(jìn)而得到安培力的表達(dá)式；然后我們就可以通過(guò)受力分析，應(yīng)用牛頓第二定律求得運(yùn)動(dòng)方程式，并有動(dòng)能定理求得功、能量的相關(guān)問(wèn)題．