Question

19．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第一象限有平行y軸且沿-y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第二象限內(nèi)有一圓形區(qū)域，邊界與x軸相切于A點(diǎn)，圓形區(qū)域的半徑為L(zhǎng)，第四象限有一矩形區(qū)域（圖中未畫(huà)出），圓形區(qū)域和矩形區(qū)域有相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)垂直于xOy平面（圖中未畫(huà)出）．P點(diǎn)在x軸上，OP距離為L(zhǎng)，Q點(diǎn)在y軸負(fù)方向上某處，現(xiàn)有兩帶電粒子a和b，a粒子的質(zhì)量為m，電荷量為+q，以速度大小v₀從A點(diǎn)與x軸成60°角進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，射出磁場(chǎng)后垂直y軸在C點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)P點(diǎn)射入第四象限；粒子b質(zhì)量為m，電荷量為-q，以速率$\sqrt{2}$v₀從Q點(diǎn)向與y軸成45°角方向反射，通過(guò)矩形磁場(chǎng)區(qū)域后與P點(diǎn)出射的粒子a相碰，相碰時(shí)粒子速度方向相反，不計(jì)粒子重力和粒子間相互作用力，求：
（1）圓形區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和方向；
（2）第一象限的電場(chǎng)強(qiáng)度大小；
（3）矩形區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a粒子進(jìn)入、離開(kāi)磁場(chǎng)的速度方向，得到粒子運(yùn)動(dòng)半徑與磁場(chǎng)半徑的關(guān)系，再由洛倫茲力做向心力求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）由（1）得到C的坐標(biāo)位置，然后，根據(jù)粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由位移公式聯(lián)立求解電場(chǎng)強(qiáng)度；
（3）由（2）求得a粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度方向，進(jìn)而得到b粒子轉(zhuǎn)過(guò)的中心角，然后由洛倫茲力做向心力求得b粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，從而求得矩形面積．

解答 解：（1）a粒子從C點(diǎn)垂直y軸進(jìn)入電場(chǎng)，所以，粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向水平向右，那么由幾何關(guān)系可知，a粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑R=L；
又有a粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力做向心力，即為：$B{v}_{0}q=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得：$B=\frac{m{v}_{0}}{qR}=\frac{m{v}_{0}}{qL}$；
由粒子偏轉(zhuǎn)方向可得粒子所受洛倫茲力方向，進(jìn)而由左手定則可判斷：磁場(chǎng)方向垂直xoy平面向外；
（2）由（1）可得：C點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為：
$h=R-Rsin30°=\frac{1}{2}R=\frac{1}{2}L$；
a粒子在電場(chǎng)中只受電場(chǎng)力，加速度為$a=\frac{qE}{m}$，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)；
所以，由類平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式可得：
$\frac{1}{2}L=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{qE}{2m}{t}^{2}$
L=v₀t；
所以有：$E=\frac{mL}{q{t}^{2}}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$；
（3）由（2）可知：a粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度與x軸正方向的夾角為θ，則有：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}=\frac{at}{{v}_{0}}=\frac{qEL}{m{{v}_{0}}^{2}}=1$
所以有：θ=45°；
所以，b粒子需在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)90°；
又有b粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力做向心力，即為：$\sqrt{2}B{v}_{0}q=\frac{2m{{v}_{0}}^{2}}{R′}$
所以有：$R′=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{Bq}=\sqrt{2}L$；
所以，矩形的長(zhǎng)邊最小為：2R′sin45°=2L
短邊最小為：$R′-R′cos45°=（\sqrt{2}-1）L$
所以，矩形區(qū)域的最小面積為：$S=2（\sqrt{2}-1）{L}^{2}$；
答：（1）圓形區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，方向垂直xoy平面向外；
（2）第一象限的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$；
（3）矩形區(qū)域的最小面積為$2（\sqrt{2}-1）{L}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，一般根據(jù)幾何關(guān)系求得半徑，然后由洛倫茲力做向心力求得半徑的表達(dá)式，進(jìn)而聯(lián)立求解問(wèn)題．