Question

7．如圖所示，粗糙的水平面上靜止放著質(zhì)量M=2.0kg的木板，長(zhǎng)木板與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.2，一個(gè)質(zhì)量m=1.0kg的小物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）在木塊右端處，m和M之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.1，設(shè)滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力，取重力加速度g=10m/s²，今對(duì)長(zhǎng)木板施加水平向右的拉力F=15N使m與M從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)作用時(shí)間t₀=1s，后撤去力F，發(fā)現(xiàn)小物體m剛好不從長(zhǎng)木板上掉下來(lái)，試求：
（1）長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度L：
（2）長(zhǎng)木板相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)的距離．

Answer 1

分析 （1）在力F作用下，分別分析小物體和長(zhǎng)木板的受力情況，求出此時(shí)兩者位移差，在撤去F后，直到兩者速度相等時(shí)，小物體m剛好不從長(zhǎng)木板上掉下來(lái)，結(jié)合動(dòng)能定理列式，求出長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度L．
（2）根據(jù)（1）的分析長(zhǎng)木板的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，計(jì)算出長(zhǎng)木板相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)的距離即可．

解答 解：（1）設(shè)小物體受到的摩擦力大小為f，則有
f=μ₂N₁   
N₁-mg=0 
可得f=0.1×1.0×10N=1N，方向水平向右              
設(shè)小物體的加速度為a₁，長(zhǎng)木板在恒力F作用下做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度為a₂，此過(guò)程中小物體的位移為s₁，長(zhǎng)木板的位移為s₂

則有：f=ma₁               
${s}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$        
${s}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
s₂-s₁=L₁
對(duì)長(zhǎng)木板分析有：F-μ₁（M+m）g-μ₂mg=Ma₂
代入數(shù)據(jù)解得：L₁=1.5m   
設(shè)撤去F時(shí)小物體和長(zhǎng)木板的速度分別為v₁和v₂，撤去F后，當(dāng)小物體與長(zhǎng)木板相對(duì)靜止時(shí)，它們具有共同速度v
對(duì)小物體：v₁=a₁t，v=v₁+a₁t₁
對(duì)長(zhǎng)木板：v₂=a₂t，μ₁（M+m）g+μ₂mg=Ma₃，v=v₂-a₃t₁ 
解得：v=$\frac{5}{3}$m/s

對(duì)小物體：根據(jù)動(dòng)能定理：$fs=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
對(duì)長(zhǎng)木板：根據(jù)動(dòng)能定理：-μ₁（M+m）g（s+L₂）$-f（s+{L}_{2}）=\frac{1}{2}M{v}^{2}-\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：s=$\frac{8}{9}m$，L₂=1m
所以長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度至少為L(zhǎng)=L₁+L₂=1.5m+1m=2.5m
（2）由（1）分析可知長(zhǎng)木板相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)的距離
x=s+L₂+s₂=$\frac{8}{9}$m+1m+2m=$\frac{35}{9}$m
答：（1）長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度L為2.5m；
（2）長(zhǎng)木板相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)的距離為$\frac{35}{9}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查牛頓第二定律，首先對(duì)長(zhǎng)木板和小物體進(jìn)行受力分析，長(zhǎng)木板和小物體均向右做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在撤去F后，再次進(jìn)行分析，小物體依然向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)木板做勻減速運(yùn)動(dòng)，直到速度相等時(shí)，小物體剛好不從長(zhǎng)木板上滑下，結(jié)合動(dòng)能定理列式，求出長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度．