Question

20．如圖所示，光滑的金屬導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌平面與水平面成α角，導(dǎo)軌下端接有阻值為R的電阻，質(zhì)量為m的金屬細(xì)桿ab與絕緣輕質(zhì)彈簧相連并靜止在導(dǎo)軌上，彈簧勁度系數(shù)為k，上端固定，彈簧與導(dǎo)軌平面平行，整個(gè)裝置處在垂直于導(dǎo)軌平面斜向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)給桿一沿軌道向下的初速度v₀，桿向下運(yùn)動(dòng)至速度為零后，再沿軌道平面向上運(yùn)動(dòng)達(dá)最大速度，大小為v₁，然后減速為零，再沿軌道平面向下運(yùn)動(dòng)…一直往復(fù)運(yùn)動(dòng)到靜止（導(dǎo)軌與金屬桿的電阻忽略不計(jì)）．試求：
（1）細(xì)桿獲得初速度瞬間，通過R的電流大��；
（2）當(dāng)桿速度為v₁時(shí)離最初靜止時(shí)位置的距離L₁；
（3）桿由初速度v₀開始運(yùn)動(dòng)直到最后靜止，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）給桿一沿軌道向下的初速度v₀，切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=BLv₀；根據(jù)歐姆定律可求出通過R的電流大�。�
（2）由題知道桿沿軌道平面向上運(yùn)動(dòng)的最大速度為v₁，此時(shí)桿所受的合外力為零．分別根據(jù)平衡條件和胡克定律求出桿靜止時(shí)和速度為v₁時(shí)彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度，由幾何關(guān)系可求得L₁；
（3）桿由初速度v₀開始運(yùn)動(dòng)直到最后靜止，彈簧的彈性勢(shì)能不變，桿還靜止在開始的位置，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒求解焦耳熱．

解答 解：（1）細(xì)桿獲得初速度瞬間，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv₀；
根據(jù)歐姆定律得：I₀=$\frac{E}{R}$
可得通過R的電流大小為：I₀=$\frac{BL{v}_{0}}{R}$．
（2）設(shè)桿最初靜止不動(dòng)時(shí)彈簧伸長(zhǎng)x₀，則有：kx₀=mgsinα
當(dāng)桿的速度為v₁時(shí)彈簧伸長(zhǎng)x₁，由平衡條件得：kx₁=mgsinα+BI₁L
此時(shí)有：I₁=$\frac{BL{v}_{1}}{R}$
而 L₁=x₁-x₀
聯(lián)立解得：L₁=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{kR}$
（3）桿最后靜止時(shí)，桿受到重力、導(dǎo)軌的支持力和彈簧的拉力，根據(jù)平衡條件和胡克定律可知，彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度與原來靜止時(shí)相同，所以桿靜止在初始位置，由能量守恒得：
  Q=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
答：
（1）細(xì)桿獲得初速度瞬間，通過R的電流大小為 $\frac{BL{v}_{0}}{R}$．
（2）當(dāng)桿速度為v₁時(shí)離最初靜止時(shí)位置的距離 L₁為 $\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{kR}$．
（3）桿由初速度v₀開始運(yùn)動(dòng)直到最后靜止，電阻R上產(chǎn)生的焦耳為$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上滑動(dòng)的類型，正確分析桿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，確定其受力情況是關(guān)鍵，并能結(jié)合能量守恒分析．