Question

8．《神奇的宇宙之旅》這本書從自然科學(xué)的角度，向廣大青少年展示一個(gè)全新的視野-宇宙的奧秘、海洋的神奇、環(huán)境的變化、生命的奇幻、物質(zhì)世界的多彩、微觀領(lǐng)域的裂變等，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，我們將來去宇宙旅行將不再是夢(mèng)想，假設(shè)若干年后同學(xué)們登上某星球并做如下實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)裝置如圖甲所示，豎直平面內(nèi)的光滑軌道由傾斜軌道AB和圓弧軌道BC組成，將質(zhì)量為m=0.2kg的小球，從軌道AB上高H處的某點(diǎn)靜止釋放，用力傳感器測(cè)出小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F，改變高度H的大小，可測(cè)出相應(yīng)的F大小，F(xiàn)隨H的變化關(guān)系如圖乙所示，萬有引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg³，求：
（1）若該星球的半徑R=5000km，該星球的第一宇宙速度大�。�
（2）若質(zhì)量為m的物質(zhì)距離該星球中心距離為r處的引力勢(shì)能為E_p=-$\frac{GMm}{r}$，在該星球表面以多大的初速度豎直拋出一個(gè)物體，物體將不再落回星球表面．

Answer 1

分析 （1）球從A到C運(yùn)動(dòng)的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律分別列式，然后結(jié)合F-H圖線求出圓軌道的半徑和星球表面的重力加速度．
（2）豎直拋出一個(gè)物體，物體將不再落回星球表面其動(dòng)能要大于等于物體在星球表面處的引力勢(shì)能．

解答 解：（1）小球過C點(diǎn)時(shí)滿足F+mg=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{r}$
又根據(jù)mg（H-2r）=$\frac{1}{2}$mv_C²      
聯(lián)立解得F=$\frac{2mg}{r}$H-5mg          
由題圖可知：H₁=0.5 m時(shí)F₁=0；H₂=1.0 m時(shí)F₂=5 N；
可解得g=5 m/s²  第一宇宙速度為v=$\sqrt{gR}$=$5\sqrt{2}×1{0}^{3}$=7.0×10³m/s
（2）物體將不再落回星球表面其動(dòng)能為：$\frac{1}{2}m{v}^{2}$≥$\frac{GMm}{r}$=$\frac{GMm}{R}$  ①
在該行星表面的物體受到的重力等于萬有引力：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$       ②
由①②式代入數(shù)據(jù)可得：v≥1×10⁴m/s
答：（1）第一宇宙速度為7.0×10³m/s
（2）星球表面以1×10⁴m/s的初速度豎直拋出一個(gè)物體，物體將不再落回星球表面

點(diǎn)評(píng) 本題是牛頓運(yùn)動(dòng)定律與機(jī)械能守恒定律的綜合題，解決本題的關(guān)鍵根據(jù)該規(guī)律得出壓力F與H的關(guān)系式，能讀取圖象的有效信息