Question

9．我國計劃在2017年發(fā)射“嫦娥四號”，它是嫦娥探月工程計劃中嫦娥系列的第四顆人造探月衛(wèi)星，主要任務(wù)是更深層次、更加全面的科學探測月球地貌、資源等方面的信息，完善月球檔案資料．已知月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，引力常量為G，嫦娥四號離月球中心的距離為r，繞月周期為T．根據(jù)以上信息可求出（　�。�

• A． “嫦娥四號”繞月運行的速度$\sqrt{\frac{{{r^2}g}}{R}}$
• B． “嫦娥四號”繞月運行的速度為$\sqrt{\frac{{{R^2}g}}{r}}$
• C． 月球的平均密度為$\frac{3π}{{G{T^2}}}$
• D． 月球的平均密度為$\frac{{3π{r^3}}}{{G{T^2}{R^3}}}$

Answer 1

分析 月球表面重力等于萬有引力，繞月衛(wèi)星的向心力由萬有引力提供，據(jù)此列式分析即可

解答 解：AB、月球表面任意一物體重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，則有$GM={R}_{\;}^{2}g$①
“嫦娥四號”繞月運行時，萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$②
由①②得$v=\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{2}g}{r}}$，故A錯誤，B正確；
CD、“嫦娥四號”繞月運行時，根據(jù)萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
月球的平均密度為：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$=$\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$，故C錯誤，D正確；
故選：BD

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$和月球表面的物體受到的重力等于萬有引力mg=$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$兩個公式的綜合應用，注意軌道半徑與星體半徑的關(guān)系．