Question

9．如圖所示為一傳送帶裝置模型，斜面的傾角θ=37°，底端經(jīng)一長度可忽略的光滑圓弧與水平傳送帶相連接，質(zhì)量m=2kg的物體從高h=30cm的斜面上由靜止釋放，它與斜面的動摩擦因數(shù)μ₁=0.25，與水平傳送帶的動摩擦因數(shù)μ₂=0.5．g取10m/s²．求：
（1）物體第一次滑到底端的速度大��；
（2）若傳送帶足夠長、速度恒為v=2.5m/s，且順時針運動，則傳送物體從左邊到右邊的過程中，電動機需要輸出多少能量；
（3）傳送帶的速度仍恒為v=2.5m/s，若物體在傳送帶上運動一段時間以后，物體又回到了斜面上，如此反復(fù)多次后最終停在斜面底端，從物體開始下滑到最終停在斜面底端，物體在斜面上通過的總路程．
（4）在（3）中，從滑上傳送帶到第一次離開傳送帶的過程中，求傳送帶與物體間摩擦產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出物體第一次到達底端的速度．
（2）若傳送帶足夠長、速度恒為v=2.5m/s，且順時針運動，結(jié)合上題的結(jié)果知道物塊先做勻加速運動，根據(jù)牛第二定律和運動學(xué)公式求出整個過程中的相對位移大小，結(jié)合Q=f△x求出摩擦產(chǎn)生的熱量．電動機需要輸出的能量等于物塊的動能增量和摩擦生熱之和．
（3）物塊能回到了斜面上，傳送帶應(yīng)逆時針運動，物塊滑上傳送帶后先向右做勻減速直線運動到零，然后反向做勻加速直線運動，最終停在斜面底端，對整個過程，運用動能定理，求出物體在斜面上通過的總路程．
（4）根據(jù)牛第二定律和運動學(xué)公式求出整個過程中的相對路程，再求摩擦生熱．

解答 解：（1）物體第一次滑到低端的過程，由動能定理得
  $mgh-{{μ}_{1}}mgscosθ=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}-0$
解得 v₀=2m/s；
（2）由于v₀=2m/s＜v=2.5m/s，所以物塊滑上傳送帶先做勻加速運動
物體在傳送帶上勻加速運動的加速度 a=$\frac{{μ}_{2}mg}{m}$=μ₂g=5m/s²．
時間：t=$\frac{v-{v}_{0}}{a}$=0.1s
傳送帶與物塊間接相對位移 s_相=vt-$\frac{v+{v}_{0}}{2}t$=0.025m
電動機需要輸出的能量  E=$\frac{1}{2}$m（v²-v₀²）+μ₂mg s_相=2.5J
（3）從物體開始下滑到最終停在斜面底端的全過程，由動能定理得
   mgh=μ₁mgcosθ•s
解得，物體在斜面上通過的總路程  s=1.5m
（4）物體在傳送帶上相對運動時，由牛頓第二定律有
   μ₂mg=ma，解得   a=μ₂g=5m/s²
到最右端的時間  $t=\frac{{{v}_{0}}}{a}=0.4s$
摩擦生熱 Q₁=${{μ}_{2}}mg（vt+\frac{v_{0}^{2}}{2a}）$
物體返回左端的時間也為t=0.4s
摩擦生熱 Q₂=${{μ}_{2}}mg（vt-\frac{v_{0}^{2}}{2a}）$
所以傳送帶與物體間摩擦產(chǎn)生的熱量 Q=Q₁+Q₂=2μ₂mgvt=20J
答：
（1）物體第一次滑到底端的速度大小是2m/s；
（2）傳送物體從左邊到右邊的過程中，電動機需要輸出的能量是2.5J；
（3）物體在斜面上通過的總路程是1.5m．
（4）在（3）中，從滑上傳送帶到第一次離開傳送帶的過程中，傳送帶與物體間摩擦產(chǎn)生的熱量Q是20J．

點評 解決本題的關(guān)鍵理清物體在整個過程中的運動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律、運動學(xué)公式和動能定理進行求解，要知道摩擦生熱與相對路程有關(guān)．