Question

3．半徑為2r的圓形金屬導軌固定在一水平面內，一根長也為2r、電阻為R的金屬棒OA一端與金屬導軌接觸良好，另一端固定在中心轉軸上，現(xiàn)有方向（俯視）如圖所示、大小為B₁的勻強磁場，中間半徑為r的地方無磁場．另有一水平金屬導軌MN用導線連接金屬圓環(huán)，M′N′用導線連接中心軸，導軌上放置一根金屬棒CD，其長度L與水平金屬導軌寬度相等，金屬棒CD的電阻2R，質量為m，與水平導軌之間的動摩擦因數μ，水平導軌處在豎直向上的勻強磁場B₂中，金屬棒CD通過細繩、定滑輪與質量也為m的重物相連，重物放置在水平地面上．所有接觸都良好，金屬棒CD受到的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，忽略其它摩擦和其它電阻，重力加速度取g；

（1）若金屬棒OA以角速度ω₀順時針轉動（俯視），求：感應電動勢及接在水平導軌上的理想電壓表的電壓；
（2）若金屬棒OA順時針轉動（俯視）的角速度隨時間ω=kt變化，求：重物離開地面之前支持力隨時間變化的表達式．

Answer 1

分析 （1）根據法拉第電磁感應定律求出導體棒轉動切割磁感線產生的感應電動勢，由閉合電路歐姆定律求電流，由歐姆定律求出導體棒兩端的電壓，即電壓表的電壓；
（2）分兩種情況討論，${F}_{安}^{\;}≤μmg$和${F}_{安}^{\;}＞μmg$，分別求出重物離開地面之前支持力隨時間變化的表達式

解答 解：（1）感應電動勢$E={B}_{1}^{\;}Lv={B}_{1}^{\;}r\frac{2{ω}_{0}^{\;}r+{ω}_{0}^{\;}r}{2}$=$\frac{3}{2}{B}_{1}^{\;}{ω}_{0}^{\;}{r}_{\;}^{2}$
感應電流$I=\frac{E}{3R}=\frac{{B}_{1}^{\;}{ω}_{0}^{\;}{r}_{\;}^{2}}{2R}$
電壓表示數${U}_{V}^{\;}=I×2R={B}_{1}^{\;}{ω}_{0}^{\;}{r}_{\;}^{2}$
（2）電流$I=\frac{E}{3R}=\frac{{B}_{1}^{\;}ω{r}_{\;}^{2}}{2R}=\frac{{B}_{1}^{\;}k{r}_{\;}^{2}t}{2R}$
金屬棒CD受到的安培力${F}_{安}^{\;}={B}_{2}^{\;}IL=\frac{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}kL{r}_{\;}^{2}t}{2R}$，方向水平向左
重物離開地面之前受力平衡${F}_{N}^{\;}+{F}_{T}^{\;}=mg$
當F_安≤μmg時即   $t≤\frac{2μmgR}{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}kL{r}_{\;}^{2}}$   F_T=0
所以F_N=mg    
當 F_安＞μmg時即 $t＞\frac{2μmgR}{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}kL{r}_{\;}^{2}}$    
${F}_{T}^{\;}={F}_{安}^{\;}-μmg$
所以${F}_{N}^{\;}=mg-\frac{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}kL{r}_{\;}^{2}t}{2R}+μmg$
答：（1）若金屬棒OA以角速度ω₀順時針轉動（俯視），感應電動勢為$\frac{3}{2}{B}_{1}^{\;}{ω}_{0}^{\;}{r}_{\;}^{2}$，接在水平導軌上的理想電壓表的電壓為${B}_{1}^{\;}{ω}_{0}^{\;}{r}_{\;}^{2}$；
（2）若金屬棒OA順時針轉動（俯視）的角速度隨時間ω=kt變化，重物離開地面之前支持力隨時間變化的表達式
當$t≤\frac{2μmgR}{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}kL{r}_{\;}^{2}}$            ${F}_{N}^{\;}=mg$
當$t＞\frac{2μmgR}{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}kL{r}_{\;}^{2}}$             ${F}_{N}^{\;}=mg-\frac{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}kL{r}_{\;}^{2}t}{2R}+μmg$

點評 解決本題的關鍵是要能靈活運用轉動切割感應電動勢公式，對轉動切割的導體棒，其感應電動勢為$E=BL\overline{v}$．