Question

3．如圖所示，在光滑的平臺上有一輕彈簧，其左端固定不動，右端位于P點時輕彈簧處于原長狀態(tài)．現(xiàn)用一質量為1kg可視為質點的小物塊向左將彈簧壓縮至右端位于Q點，然后由靜止釋放，小物塊從A點以4m/s的速度離開平臺，在平臺的右側有一固定在豎直平面內(nèi)的圓弧軌道BC，圓弧的半徑為4m，圓心角θ=37°．在圓弧軌道的右側有一質量為2kg的長木板靜止在光滑的水平面上，長木板的左端挨著圓弧軌道，其上表面與過圓弧軌道C點的切線平齊．小物塊離開平臺后恰好沿B點的切線方向進入圓弧軌道運動，從B到C的過程中小物塊克服摩擦力做功2.5J．小物塊離開C點后滑上長木板的左端繼續(xù)運動，已知小物塊和長木板間的動摩擦因數(shù)為0.2，g取10m/s²．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
求：（1）小物塊在Q點時彈簧具有的彈性勢能；
（2）小物塊運動到C點時對軌道的壓力；
（3）要使小物塊不從長木板上掉下來，長木板的最小長度．

Answer 1

分析 （1）由在平臺上運動，小物塊和彈簧機械能守恒求解；
（2）通過幾何關系及平拋運動速度規(guī)律求得在B點的速度，然后通過動能定理求得在C點的速度，即可由牛頓第二定律求得支持力，然后由牛頓第三定律求得壓力；
（3）通過勻變速運動規(guī)律或動量守恒求得共同速度，然后通過能量守恒求得摩擦產(chǎn)熱，即可求得先對位移即長木板的最小長度．

解答 解：（1）小物塊在水平臺面上運動時只有彈簧彈力做功，故機械能守恒，則有：在Q點時彈簧具有的彈性勢能${E}_{p}=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=8J$；
（2）小物塊從A到B做平拋運動，故速度的水平分量不變，那么，小物塊沿B點的切線方向進入圓弧軌道運動，故有${v}_{B}=\frac{{v}_{A}}{cosθ}=5m/s$；
又有小物塊從B到C只有重力、摩擦力做功，故由動能定理有$mgR（1-cosθ）+{W}_{f}=5.5J=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以，v_C=6m/s；
那么在C點對小物塊應用牛頓第二定律可得：${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}=19N$，方向豎直向上；
故由牛頓第三定律可知，小物塊對軌道的壓力為19N，方向豎直向下；
（3）小物塊滑上長木板后向右勻減速運動，長木板向右勻加速運動；要使小物塊不從長木板上掉下來，則長木板的最小長度大于小物塊和長木板達到相同速度前的相對位移；
小物塊和長木板之間的摩擦力f=μmg=2N，那么，小物塊的加速度${a}_{1}=2m/{s}^{2}$，長木板的加速度${a}_{2}=1m/{s}^{2}$；
設二者經(jīng)過t時間達到共同速度v，則v=v_C-a₁t=a₂t，所以，t=2s，v=2 m/s；
故由能量守恒可得：摩擦產(chǎn)熱$Q=f{s}_{相對}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}=12J$，所以，s_相對=6m；
故要使小物塊不從長木板上掉下來，長木板的最小長度為6m；
答：（1）小物塊在Q點時彈簧具有的彈性勢能為8J；
（2）小物塊運動到C點時對軌道的壓力為19N，方向豎直向下；
（3）要使小物塊不從長木板上掉下來，長木板的最小長度為6m．

點評 經(jīng)典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．