Question

（18分）圖（甲）所示，一對金屬板M和N平行、豎直放置，M、N的中心分別有小孔P、Q，PQ連線垂直金屬板。N板右側(cè)有一半徑為r的圓形有界的勻強(qiáng)磁場，其圓心O在PQ的延長線上，磁場方向垂直于紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。置于P孔附近的粒子源連續(xù)不斷地沿PQ方向放射出質(zhì)量為m、電量為＋q的帶電粒子（帶電粒子所受的重力、初速度及粒子間的相互作用力可忽略），從某一時(shí)刻開始，在板M、N間加上如圖（乙）所示的交變電壓，其周期為T、電壓為U，t=0時(shí)M板電勢高于N板電勢。已知帶電粒子在M、N兩板間一直做加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間小于T/2，并且只有在每一個(gè)周期的前T/4時(shí)間內(nèi)放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出，求：

（1）帶電粒子從小孔Q中射出的最大速度；

（2）M、N兩板間的距離；

（3）在沿圓形磁場的邊界上，有帶電粒子射出的最大弧長。

 

Answer 1

（1）在M、N電場間處于一直加速的粒子從小孔Q中射出的速度最大，設(shè)從最大速度為v_m………………1分

根據(jù)動(dòng)能定理

       ………………2分

解得  。………………2分

（2）設(shè)M、N兩板間距離為d，則兩板間的電場強(qiáng)度大小   

E=，………………1分

設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律    qE=ma………………1分

解得：a=………………1分

每一個(gè)周期的第一個(gè)T/4時(shí)刻放出的帶電粒子剛好能從小孔Q中射出，它加速和減速各經(jīng)歷T/4，………………1分

由d=………………2分

解得d=………………1分

（3）每一個(gè)周期的前T/4時(shí)間內(nèi)放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出，其中射出最早的粒子速度最大，越晚射出的粒子速度越小。粒子進(jìn)入磁場，其中速度越小者運(yùn)動(dòng)半徑越小，射出點(diǎn)離射入點(diǎn)越近，偏轉(zhuǎn)角度越大（越接近）。最早射入者速度最大，運(yùn)動(dòng)半徑最大，偏轉(zhuǎn)角度最小，射出點(diǎn)與入射點(diǎn)所夾弧長最大。………………1分

設(shè)帶電粒子以最大速度射入時(shí)在磁場中的運(yùn)動(dòng)半徑為R，偏轉(zhuǎn)角為，由牛頓第二定律和幾何關(guān)系得

    ………………1分

………………1分

解得：�！�……………1分

設(shè)沿圓形磁場邊界上有帶電粒子射出的最大弧長為s（圖中實(shí)線部分），根據(jù)弧長公式

s=r(………………2分