Question

如圖所示，水平放置的兩根足夠長(zhǎng)的平行光滑金屬導(dǎo)軌相距L，質(zhì)量為m的金屬桿ab垂直置于導(dǎo)軌上，兩導(dǎo)軌左端接的定值電阻阻值為R，右端接的電容器為C，勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌平面豎直向下，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，不計(jì)金屬桿和金屬導(dǎo)軌的電阻．
（1）當(dāng)金屬桿ab在水平外力F₁作用下以速度v₀向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，求電容器所帶電量和金屬桿ab所受水平外力F1的大小．
（2）現(xiàn)讓金屬桿ab在在水平外力F₂作用下從靜止開始以加速度a向右做勻加速運(yùn)動(dòng)t時(shí)間，求該過(guò)程中電容器的充電電流I_C和F₂隨時(shí)間t變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）金屬桿ab勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BLv₀，因金屬桿相當(dāng)于電源，又不計(jì)電阻，則電容器兩端的電壓等于感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E，可由Q=CU求其電量．根據(jù)歐姆定律可求出電路中感應(yīng)電流I，由F=BIL求出桿所受的安培力，桿勻速運(yùn)動(dòng)，外力與安培力平衡，就能求得水平外力F₁的大小．
（2）讓金屬桿ab從靜止開始向右做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不斷增大，電容器不斷充電，電路中存在充電電流，根據(jù)I=

△Q

△t

，Q=CU，U=E，E=BLv、v=at，聯(lián)立求得電容器的充電電流I_C，并能求出桿所受的安培力，再根據(jù)牛頓第二定律得到F₂隨時(shí)間t變化關(guān)系式．

解答：解：（1）金屬桿ab勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BLv₀，
因不計(jì)金屬桿和金屬導(dǎo)軌的電阻，則電容器兩端的電壓U=E，
由C=

Q

U

得，電容器所帶電量 Q=CE=CBLv₀．
電路中感應(yīng)電流為 I=

E

R

桿所受的安培力大小為 F_A=BIL，
因桿做勻速運(yùn)動(dòng)，則由平衡條件得
  F₁=F_A．
聯(lián)立以上各式得：F₁=

B2L2v0

R

（2）讓金屬桿ab從靜止開始向右做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，在t時(shí)刻，桿的速度為 v=at
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=BLv
電容器的所帶電量為 Q=CE
則該過(guò)程中電容器的充電電流I_C=

△Q

△t

=

△(CBLv)

△t

=CBL

△v

△t

=CBLa
故通過(guò)桿的電流為 I=I_C+

E

R

=CBLa+

BLat

R

根據(jù)牛頓第二定律得
  F₂-BIL=ma
解得，F(xiàn)₂=ma+B²L²Ca+

B2L2at

R

答：
（1）電容器所帶電量為CBLv₀，金屬桿ab所受水平外力F₁的大小為

B2L2v0

R

．
（2）該過(guò)程中電容器的充電電流I_C為CBLa，F(xiàn)₂隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為ma+B²L²Ca+

B2L2at

R

．

點(diǎn)評(píng)：本題電磁感應(yīng)與電路的綜合，除掌握電磁感應(yīng)與力學(xué)的基本規(guī)律外，關(guān)鍵要理解電容器的充電電流I_C=

△Q

△t

，并掌握電量Q=CU，再進(jìn)行推導(dǎo)．