Question

如圖所示，豎直的半圓型光滑軌道與水平軌道相切，軌道半徑R=0.2m．質(zhì)量m=0.2kg的小球以某一速度正對(duì)半圓型軌道運(yùn)動(dòng)，B、D兩點(diǎn)分別是半圓軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的速度為v_B=5m/s，達(dá)到D點(diǎn)時(shí)加速度的大小為4.5g，求：（取

2

=1.4 ）
（1）小球經(jīng)過(guò)B、D兩個(gè)位置時(shí)對(duì)軌道的壓力分別多大？
（2）小球從D點(diǎn)飛出后落到水平軌道的位置與B點(diǎn)相距多遠(yuǎn)？

Answer 1

分析：（1）小球經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道彈力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)受到的彈力和速度．小球從B到D的過(guò)程，只有重力做功，其機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的速度，再牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力．
（2）小球從D點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由高度2R求出時(shí)間．水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由公式x=v_Dt求出小球落到水平軌道的位置與B點(diǎn)的距離．

解答：解：
（1）D點(diǎn)：根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)_D+mg=ma_D，代入解得F_D=7N．
由牛頓第三定律得，小球經(jīng)過(guò)D時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為7N，方向豎直向上．
    由a_D=m

v 2 D

R

，得到v_D=

aDR

=

4.5×10

=3m/s．
小球從B到D過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得
    2mgR+

1

2

m

v

2 D

=

1

2

m

v

2 B

代入解得  v_B=

v 2 D +4gR

=

32+4×10×0.2

=

17

m/s
B點(diǎn)：根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)_B-mg=m

v 2 B

R

代入解得  F_B=m（g+

v 2 B

R

）=0.2×（10+

17

0.2

）=19N
由牛頓第三定律得，小球經(jīng)過(guò)B時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為19N，方向豎直向下．
（2）小球從D點(diǎn)飛出以v_D=3m/s的初速度做平拋運(yùn)動(dòng)．
豎直方向：2R=

1

2

gt2
水平方向：x=v_Dt
聯(lián)立上兩式解得  x=0.84m
答：（1）小球經(jīng)過(guò)B、D兩個(gè)位置時(shí)對(duì)軌道的壓力分別為19N和7N；
    （2）小球從D點(diǎn)飛出后落到水平軌道的位置與B點(diǎn)相距0.84m．

點(diǎn)評(píng)：本題整合了牛頓運(yùn)動(dòng)定律、機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動(dòng)等知識(shí)，中等難度．抓住圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由指向圓心的合力提供．