Question

9．如圖所示，一個(gè)半徑為R=1.5m的金屬圓環(huán)豎直固定放置，環(huán)上套有一個(gè)質(zhì)量為m的小球，小球可在環(huán)上自由滑動(dòng)，與環(huán)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.75．不計(jì)空氣阻力，重力加速度g=10m/s²．當(dāng)小球向右滑動(dòng)經(jīng)過(guò)環(huán)的最高點(diǎn)時(shí)：（結(jié)果可用根號(hào)表示）
（1）若此刻環(huán)對(duì)小球的摩擦力為零，求此刻小球的速率．
（2）若此刻環(huán)對(duì)小球的摩擦力大小為0.3mg，求此刻環(huán)對(duì)小球的作用力大小．
（3）若此刻環(huán)對(duì)小球的摩擦力大小為0.3mg，求此刻小球的速率．

Answer 1

分析 （1）摩擦力為零，重力完全提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求得速度；
（2）根據(jù)f=μF_N求得相互作用力；
（3）根據(jù)摩擦力求得環(huán)與小球間的相互作用力，根據(jù)牛頓第二定律求得速率

解答 解：（1）摩擦力f=0，則環(huán)對(duì)小球的彈力N=0                    
對(duì)小球受力分析有：$mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$                          
解得小球速率 $v=\sqrt{15}m/s$
（2）滑動(dòng)摩擦力 f=μN(yùn)，
將f=0.3mg、μ=0.75代入
解得環(huán)對(duì)小球的彈力N=$\frac{f}{μ}=\frac{0.3mg}{0.75}$=0.4mg
由勾股定理，環(huán)對(duì)小球的作用力$F=\sqrt{{N}^{2}+{f}^{2}}=0.5mg$
（3）由第二小題可知，環(huán)對(duì)小球的彈力N=0.4mg
當(dāng)環(huán)對(duì)小球的彈力向上時(shí)：$mg-N=\frac{{mv}_{1}^{2}}{R}$
解得小球的速率 v₁=3m/s
當(dāng)環(huán)對(duì)小球的彈力向下時(shí)：$mg+N=\frac{{mv}_{2}^{2}}{R}$
解得小球的速率 ${v}_{2}=\sqrt{21}m/s$
答：（1）若此刻環(huán)對(duì)小球的摩擦力為零，此刻小球的速率為$\sqrt{15}$m/s．
（2）若此刻環(huán)對(duì)小球的摩擦力大小為0.3mg，此刻環(huán)對(duì)小球的作用力大小為0.5mg．
（3）若此刻環(huán)對(duì)小球的摩擦力大小為0.3mg，此刻小球的速率為3m/s或者$\sqrt{21}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，注意在最高點(diǎn)，環(huán)對(duì)球的彈力可能向上，可能向下．