Question

物體在萬有引力場(chǎng)中具有的勢(shì)能叫做引力勢(shì)能．取兩物體相距無窮遠(yuǎn)時(shí)的引力勢(shì)能為零，一個(gè)質(zhì)量為m₀的質(zhì)點(diǎn)距離質(zhì)量為M₀的引力源中心為r₀時(shí)．其引力勢(shì)能E_p=-

GM0m0

r0

（式中G為引力常數(shù)）．現(xiàn)有一顆質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星以圓形軌道環(huán)繞地球飛行，由于受高空稀薄空氣的阻力作用，衛(wèi)星的圓軌道半徑從r₁緩慢減小到r₂．已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，求此過程中衛(wèi)星克服空氣阻力做功W_f．（用m、R、g、表示）

Answer 1

分析：根據(jù)萬有引力提供向心力求出衛(wèi)星在半徑為r₁圓形軌道運(yùn)動(dòng)的速度，從而知道動(dòng)能，通過引力勢(shì)能公式求出在軌道r₁上的機(jī)械能，同理可以求出衛(wèi)星在軌道r₂上的機(jī)械能，衛(wèi)星的圓軌道半徑從r₁逐漸減小到r₂．在這個(gè)過程中客服空氣阻力做功W_f等于衛(wèi)星機(jī)械能的減少．

解答：解：衛(wèi)星在圓軌道半徑從r₁上時(shí)，根據(jù)萬有引力提供向心力：G

Mm

r12

=m

v12

r1

得v1=

GM r1

所以Ek1=

1

2

mv12=

GMm

2r1

．
衛(wèi)星的總機(jī)械能：E1=Ek1+Ep1=Ek1=

GMm

2r1

-

GMm

r1

=-

GMm

2r1

同理：衛(wèi)星的圓軌道半徑從r₂上時(shí)，Ek2=

GMm

2r21

衛(wèi)星的總機(jī)械能：E2=-

GMm

2r2

衛(wèi)星的圓軌道半徑從r₁逐漸減小到r₂．在這個(gè)過程中客服空氣阻力做功為W_f，等于衛(wèi)星機(jī)械能的減少：Wf=E1-E2=(-

GMm

2r1

)-(-

GMm

2r2

)=

GMm

2

(

1

r2

-

1

r1

)．
答：此過程中衛(wèi)星克服空氣阻力做功W_f為

GMm

2

(

1

r2

-

1

r1

)．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵得出衛(wèi)星動(dòng)能和勢(shì)能的和即機(jī)械能的變化量，從而客服空氣阻力做功為W_f等于衛(wèi)星機(jī)械能的減少這個(gè)功能關(guān)系計(jì)算即可．