Question

10．有一塊厚度為h、半徑為R的圓餅狀玻璃磚，折射率為$\sqrt{2}$，現(xiàn)經(jīng)過圓心截取四分之一，如圖所示．兩個截面為互相垂直的矩形，現(xiàn)使截面ABNM水平放置，一束單色光與該面成45°角入射，恰好覆蓋該截面，如果不考慮玻璃磚內(nèi)的反射光，求：
（i）從ABCD弧面射出的光線在玻璃磚內(nèi)的最長時間（已知光在真空中傳播速度為c）；
（ii）ABCD弧面上有光線射出的面積．

Answer 1

分析 （i）從N或M點射入玻璃柱體的光線在玻璃磚傳播的距離最長，由v=$\frac{c}{n}$求出光線在玻璃磚內(nèi)的傳播速度，從而求得最長時間．
（ii）作出兩條特殊光線，一是從N或M點射入玻璃柱體的光線，二是在BC圓弧面上發(fā)生恰好全反射的光線，有光透出的部分在這兩條光線之間，然后根據(jù)幾何關系求解．

解答 解：（i）從N或M點射入玻璃柱體的光線在玻璃磚傳播的距離最長，最長距離 S=R
光線在玻璃磚內(nèi)的傳播速度 v=$\frac{c}{n}$
所以光線在玻璃磚內(nèi)的最長時間為 t=$\frac{S}{v}$=$\frac{nR}{c}$=$\frac{\sqrt{2}R}{c}$
（ii）根據(jù)折射定律有：n=$\frac{sini}{sinr}$，得sinr=$\frac{sini}{n}$=$\frac{sin45°}{\sqrt{2}}$=0.5，折射角 r=30°，即光進入玻璃后光線與豎直方向的夾角為30°．
過N的光線垂直入射到BC界面上點D射出，C到D之間沒有光線射出；越接近B的光線入射到BC界面上時的入射角越大，發(fā)生全反射的可能性越大．
根據(jù)臨界角公式：sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得臨界角 C=45°
設BC界面上的臨界點為E，此光線在NB界面上點F入射，在三角形NEB中可求得NE與水平方向的夾角為：
  180°-（120°+45°）=15°
所以E到B之間沒有光線射出．由此可得沒有光線射出的圓弧對應圓心角為 90°-（30°+15°）=45°=$\frac{π}{4}$
所以有光透出的部分的弧長為$\frac{1}{4}$πR，則ABCD面上有光透出部分的面積為 S=$\frac{1}{4}$πRh．
答：
（i）從ABCD弧面射出的光線在玻璃磚內(nèi)的最長時間是$\frac{\sqrt{2}R}{c}$．
（ii）ABCD弧面上有光線射出的面積是$\frac{1}{4}$πRh．

點評 根據(jù)光的折射、全反射原理在AB弧面上找到有光線透出的范圍，然后依據(jù)幾何關系求解．