Question

【題目】如圖所示，在第二象限內(nèi)存在一個(gè)半徑為a的圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)圓心坐標(biāo)。在位置坐標(biāo)為的P點(diǎn)存在一個(gè)粒子發(fā)射源，能在紙面內(nèi)的第二象限向各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m、帶電量的粒子，其速度大小均為v。這些粒子經(jīng)過圓形磁場(chǎng)后都可以垂直y軸進(jìn)入第一象限，并經(jīng)過第一象限內(nèi)一個(gè)垂直xOy平面向外的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，該區(qū)域磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為第二象限圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的二分之一，粒子經(jīng)過該磁場(chǎng)后，全部匯聚到位置坐標(biāo)為的Q點(diǎn)，再從Q點(diǎn)進(jìn)入第四象限，第四象限內(nèi)有大小為、方向水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)。不計(jì)粒子重力，求：

（1）第二象限圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度；

（2）第一象限有界磁場(chǎng)的最小面積；

（3）這些粒子經(jīng)過勻強(qiáng)電場(chǎng)后再次經(jīng)過y軸時(shí)速度的大小以及粒子所能達(dá)到的最遠(yuǎn)位置坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）3v；（0，）

【解析】

（1）要想使這些粒子經(jīng)過圓形磁場(chǎng)后都可以垂直y軸進(jìn)入第一象限，則粒子在圓形磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑必須和圓形磁場(chǎng)的半徑相同，即：

R=a

在磁場(chǎng)中，由洛侖茲力提供向心力：

聯(lián)立可得：

由左手定則知：磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向垂直xOy平面向外
（2）第一象限區(qū)域磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為第二象限圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的二分之一，則根據(jù)

此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為

R′=2a

則最小磁場(chǎng)的直徑為

最小面積為

（3）粒子在從P到Q運(yùn)動(dòng)的過程中，所經(jīng)歷的磁場(chǎng)區(qū)域均不可以改變其速度的大小，所有粒子在到達(dá)Q點(diǎn)的速度仍是v。雖然不同粒子在Q點(diǎn)的速度方向不同，從Q到y軸負(fù)方向，
由動(dòng)能定理可得：

解得：

由第一象限內(nèi)的磁場(chǎng)分布可以知道，所有從Q點(diǎn)射出的粒子，其速度大小均為v，方向頒布在沿x軸正向與y軸負(fù)向之間的90°范圍之內(nèi)。
現(xiàn)研究從Q點(diǎn)射出的，速度與y軸負(fù)向平角為θ的粒子。其軌跡應(yīng)是類斜拋。則有

y=v cosθ×t

聯(lián)立兩式，消去θ可得：

從此式可以看出：
當(dāng)時(shí)，

故第二次經(jīng)過y軸最遠(yuǎn)位置坐標(biāo)為：（0，）