Question

(18分)如圖所示，勁度系數(shù)k＝100N/m的一根輕質(zhì)彈簧，右端固定在豎直墻壁上，左端連接一質(zhì)量m＝1.0kg的小物塊，開始時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)，小物塊靜止于O點(diǎn)，現(xiàn)將小物塊緩慢向左拉動(dòng)至A點(diǎn)后釋放，讓小物塊沿水平面向右運(yùn)動(dòng)起來，已知OA長(zhǎng)度L＝0.25m，小物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.1，最大靜摩擦力可看成等于滑動(dòng)摩擦力的大小，g取10m/s²。

⑴試在坐標(biāo)紙中作出小物塊在由O移動(dòng)到A的過程中，彈簧彈力F隨伸長(zhǎng)量x變化的F-x圖象，類比于由v-t圖象求位移的方法，求此過程中克服彈簧彈力做的功W；

⑵求小物塊從A點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度v；

⑶求小物塊從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)后，第一次到達(dá)最右端時(shí)，彈簧的形變量；

⑷求小物塊從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)直至靜止的總路程。

 

Answer 1

【答案】

 ⑴

，W＝3.125J；

⑵v＝2.4m/s；⑶x₁＝0.23m；⑷s＝3.12m

【解析】

試題分析：根據(jù)胡克定律可知，彈簧彈力F與伸長(zhǎng)量x的關(guān)系為：F＝kx＝100x，其中0≤x≤0.25m

其F-x圖象如下圖所示

在F-x圖象中圖線與x軸所圍的面積即表示了此過程中克服彈簧彈力做的功，有：W＝＝3.125J

⑵小物塊從A點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)過程中受重力mg、地面的支持力N和滑動(dòng)摩擦力f，以及彈簧彈力F作用，根據(jù)牛頓第二定律分析可知，此時(shí)小物塊向右先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度減小為零時(shí)，其速度達(dá)到最大，設(shè)此時(shí)彈簧的拉伸量為x₀，有：kx₀＝μmg

解得：x₀＝0.01m

此過程中彈簧彈力做的功為：W₀＝×0.24J＝3.12J

根據(jù)動(dòng)能定理有：W₀－μmg(L－x₀)＝－0

解得：v＝2.4m/s

⑶設(shè)小物塊第一次到達(dá)最右端時(shí)，彈簧的壓縮量為x₁，小物塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最右端的過程中，彈簧彈力先做正功，后做負(fù)功，根據(jù)動(dòng)能定理有：－－μmg(L＋x₁)＝0－0

解得：L－x₁＝＝0.02m，即x₁＝0.23m

⑷設(shè)從A點(diǎn)釋放小物塊后，小物塊共出現(xiàn)n次速度為零，且只要kx＞μmg，小物塊總能回到O點(diǎn)，在滿足kx＞μmg時(shí)，小物塊每一次由最右端運(yùn)動(dòng)至最左端或由最左端運(yùn)動(dòng)至最右端(即小物塊連續(xù)兩次速度為零)的過程中，彈簧總是先做正功再做負(fù)功，設(shè)物塊第n－1次速度為零時(shí)，彈簧的形變量為x_n－1，第n次速度為零時(shí)，彈簧的形變量為x_n，根據(jù)動(dòng)能定理有：－－μmg(x_n－1＋x_n)＝0－0

解得：Δx＝x_n－1－x_n＝0.02m

有：k(L－nΔx)≤μmg＜k[L－(n－1)Δx]，解得：12≤n＜13，即取n＝12

對(duì)全程，根據(jù)動(dòng)能定理有：－－μmgs＝0－0

解得：s＝＝3.12m

考點(diǎn)：本題主要考查了胡克定律、動(dòng)能定理(功能關(guān)系)及圖象的應(yīng)用問題，屬于較難題。