Question

如圖所示的空間分為I、Ⅱ兩個(gè)區(qū)域，邊界AD與邊界AC的夾角為30°，邊界AC與MN平行，I、Ⅱ區(qū)域均存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向分別為垂直紙面向外和垂直紙面向里，Ⅱ區(qū)域?qū)挾葹閐，邊界AD上的P點(diǎn)與A點(diǎn)間距離為2d．一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子以速度v=2Bqd/m，
沿紙面與邊界AD成60°的圖示方向從左邊進(jìn)入I區(qū)域磁場(chǎng)（粒子的重力可忽略不計(jì)）．
（1）若粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，從邊界MN飛出磁場(chǎng)，求粒子經(jīng)過兩磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間．
（2）粒子從距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，在Ⅱ區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短？
（3）若粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，在整個(gè)空間加一垂直紙面向里的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，當(dāng)粒子經(jīng)過邊界AC時(shí)撤去電場(chǎng)，則該粒子在穿過兩磁場(chǎng)區(qū)域的過程中沿垂直紙面方向移動(dòng)的距離為多少？

Answer 1

分析：（1）粒子射入磁場(chǎng)后受到洛倫茲力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求得粒子的軌跡半徑和周期，畫出軌跡，找出軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角θ，由t=

θ

360°

T求時(shí)間．
（2）因粒子的軌跡半徑一定，在當(dāng)軌跡的弦最短時(shí)，在Ⅱ區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，由幾何關(guān)系求得時(shí)間最短時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，根據(jù)幾何關(guān)系求得入射點(diǎn)到A點(diǎn)的距離．
（3）加上電場(chǎng)后，粒子沿電場(chǎng)方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，在Ⅱ區(qū)域沿磁場(chǎng)方向做勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和幾何關(guān)系求解此題．

解答：解：（1）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，則
   qvB=m

v2

r

由題意，v=

2Bqd

m

解得，r=2d
粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的周期 T=

2πm

qB

設(shè)粒子在Ⅰ區(qū)轉(zhuǎn)過的角度為θ，則
   sinθ=

2dsin30°

r

=

1

2

得θ=30°
粒子在Ⅰ區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t₁=

θ

360°

T
設(shè)粒子在Ⅱ區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂，由對(duì)稱關(guān)系可知，粒子經(jīng)過兩磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間為t=t₁+t₂=2t₁
解得，t=

πm

3qB

（2）在Ⅱ區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短時(shí)，運(yùn)動(dòng)圓弧對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)最短，應(yīng)為d，由幾何關(guān)系可知，粒子入射點(diǎn)Q到邊界AC的距離應(yīng)為

d

2

則入射點(diǎn)Q與A點(diǎn)的距離為d．
（3）再加上電場(chǎng)后，粒子沿電場(chǎng)方向做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度為 a=

qE

m

在Ⅰ區(qū)沿電場(chǎng)方向的偏轉(zhuǎn)距離為 y₁=

1

2

a

t

2 1

在Ⅱ區(qū)域沿磁場(chǎng)方向做勻速運(yùn)動(dòng)，y₂=at₁?t₂
則在粒子在穿過兩磁場(chǎng)區(qū)域的過程中沿垂直紙面方向移動(dòng)的距離為
  y=y₁+y₂=

π2mE

24qB

答：
（1）若粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，從邊界MN飛出磁場(chǎng)，粒子經(jīng)過兩磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間為

πm

3qB

．
（2）粒子從距A點(diǎn)d處進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，在Ⅱ區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短
（3）粒子在穿過兩磁場(chǎng)區(qū)域的過程中沿垂直紙面方向移動(dòng)的距離為

π2mE

24qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題是常見的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，畫出軌跡，運(yùn)用幾何關(guān)系和牛頓第二定律等知識(shí)進(jìn)行求解．