Question

20．有一質(zhì)量很大而體積很小的星球，一個(gè)物體從離這個(gè)星球距離為r的高度從靜止出發(fā)自由落向此星球，則物體落到這個(gè)星球上經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{{π}^{2}{r}^{3}}{2GM}}$（已知星球的質(zhì)量為M）

Answer 1

分析 星球很小，可以看作質(zhì)點(diǎn)，物體僅受星球引力作用下的運(yùn)動(dòng)軌道通常有三種可能的情況：（1）沿直線(xiàn)自由下落．（2）圓軌道．（3）橢圓軌道．物體在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，星球處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿(mǎn)足開(kāi)普勒第三定律：$\frac{{T}^{2}}{{R}^{3}}$=$\frac{4{π}^{2}}{GM}$，其中T為物體的公轉(zhuǎn)周期，R為半長(zhǎng)軸，M是星球的質(zhì)量．我們?cè)O(shè)想一個(gè)狹長(zhǎng)的橢圓軌道，遠(yuǎn)地點(diǎn)即為物體開(kāi)始下落的位置，此橢圓越扁，其兩側(cè)就越向物體自由下落的軌道靠攏，極端的情況是：當(dāng)橢圓的半短軸b=0時(shí)，兩者就重合了．這樣，就可能通過(guò)求物體沿上述橢圓軌道對(duì)應(yīng)部分的時(shí)間來(lái)求物體自由下落的時(shí)間．

解答 解：將星球看成質(zhì)點(diǎn)，設(shè)物體下落的時(shí)間為t．則物體繞星球公轉(zhuǎn)的周期為2t，橢圓半長(zhǎng)軸為$\frac{r}{2}$，由開(kāi)普勒第三定律$\frac{{T}^{2}}{{R}^{3}}$=$\frac{4{π}^{2}}{GM}$，得：
$\frac{（2t）^{2}}{（\frac{r}{2}）^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}}{GM}$
解得：t=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{{π}^{2}{r}^{3}}{2GM}}$
故答案為：$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{{π}^{2}{r}^{3}}{2GM}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中物體的加速度不恒定，直接根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律不好解，關(guān)鍵要運(yùn)用極限法，建立物體運(yùn)動(dòng)的模型：橢圓運(yùn)動(dòng)，星球是橢圓的焦點(diǎn)，運(yùn)用開(kāi)普勒第三定律$\frac{{T}^{2}}{{R}^{3}}$=$\frac{4{π}^{2}}{GM}$求解．