Question

如圖所示為某種新型分離設(shè)備內(nèi)部電、磁場分布情況圖。自上而下分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區(qū)域。區(qū)域Ⅰ寬度為d₁，分布有沿紙面向下的勻強(qiáng)電場E₁；區(qū)域Ⅱ?qū)挾葹閐₂，分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場B₁；寬度可調(diào)的區(qū)域Ⅲ中分布有沿紙面向下的勻強(qiáng)電場E₂和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場B₂。現(xiàn)有一群質(zhì)量和帶電量均不同的帶電粒子從區(qū)域Ⅰ上邊緣的注入孔A點被注入，這些粒子都只在電場力作用下由靜止開始運動，然后相繼進(jìn)入Ⅱ、Ⅲ兩個區(qū)域，滿足一定條件的粒子將回到區(qū)域Ⅰ，其他粒子則從區(qū)域Ⅲ飛出，三區(qū)域都足夠長。已知能飛回區(qū)域Ⅰ的帶電粒子的質(zhì)量為m=6.4×10^—27kg、帶電量為q=3.2×10^—19C，且有d₁=10cm，d₂=5cm，E₁= E₂=40V/m，B₁=4×10^—3T，B₂=2×10^—3T。試求：

（1）該帶電粒子離開區(qū)域Ⅰ時的速度；

（2）該帶電粒子離開區(qū)域Ⅱ時的速度；

（3）為使該帶電粒子還能回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣，區(qū)域Ⅲ的寬度d₃應(yīng)滿足的條件；

（4）該帶電粒子第一次回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣時離開A點的距離。

Answer 1

（1）2×10⁴m/s,方向沿y軸正向（2）2×10⁴m/s, 方向與x軸正向夾45°

（3）   d₃>10cm     （4）d=40+10π—10=57.26cm

   

解析:

為研究方便，建立如圖所示坐標(biāo)系

（1）由E₁qd₁=得，

帶電粒子離開區(qū)域Ⅰ時的速度，    方向沿y軸正向。

（2）帶電粒子在區(qū)域Ⅱ內(nèi)運動時，只受洛侖茲力，且不做功，所以帶電粒子離開區(qū)域Ⅱ時的速度大小仍為

方向：由圖中幾何關(guān)系可知：，又由得：

聯(lián)立代入數(shù)據(jù)得：，，即 

所以帶電粒子離開區(qū)域Ⅱ時的速度方向與x軸正向夾45°。

（3）如果將帶電粒子離開區(qū)域Ⅱ也即進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ時的速度分解成和，

則有===，

所以，方向沿y軸反向，方向沿x軸正向，

又因為，方向沿y軸正向，即與抵消。

所以帶電粒子在區(qū)域Ⅲ中運動可視為沿x軸正向的速度為的勻速直線運動和以速率為以及對應(yīng)洛淪茲力作為向心力的勻速圓周運動的疊加。軌跡如圖所示。

圓周運動半徑為=10cm，        周期T==

所以只要帶電粒子運動到軌跡最低點C時不出區(qū)域Ⅲ，就可回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣。

所以區(qū)域Ⅲ的寬度應(yīng)滿足d₃>h

由上面的運動分析可知，帶電粒子到最低點，圓周運動剛好轉(zhuǎn)過，

所以h==0.1m=10cm所以d₃>10cm

（4）根據(jù)運動的對稱性可知，帶電粒子回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣的B點，距A點的距離為：

d=2[（1—cosθ）++·]代入數(shù)據(jù)得：

d=40+10π—10=57.26cm