Question

（2013?安徽模擬）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，有過(guò)x軸正半軸的P點(diǎn)平行y軸的直線邊界CD，第I象限CD邊界左側(cè)有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第IV象限CD邊界右側(cè)有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，兩電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，第IV象限CD邊界左側(cè)有垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶負(fù)電粒子（不計(jì)重力）從y軸正半軸上距坐標(biāo)原點(diǎn)O距離為L(zhǎng)的M點(diǎn)以速度v₀沿x軸正方向射入電場(chǎng)，經(jīng)x軸上的N點(diǎn)與x軸正方向成53°射入磁場(chǎng)，最后垂直CD邊界進(jìn)入右側(cè)電場(chǎng)．（已知sin53=0.8°，cos53°=0.6）
（1）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑；
（2）O、P兩點(diǎn)間的距離；
（3）粒子從M出發(fā)到第二次通過(guò)CD邊界所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形定則求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，結(jié)合洛倫茲力通過(guò)向心力求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
（2）根據(jù)粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，求出0N的距離，結(jié)合粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，通過(guò)幾何關(guān)系求出OP間的距離．
（3）粒子在電場(chǎng)中先做類平拋運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最后進(jìn)入電場(chǎng)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期公式求出粒子從M出發(fā)到第二次通過(guò)CD邊界所經(jīng)歷的時(shí)間．

解答：解：（1）粒子在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子過(guò)N點(diǎn)時(shí)速度為v，由平拋規(guī)律得：
vcos53°=v₀------------①
粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其軌跡半徑為R，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：
qvB=m

v2

R

----------------②
解①②得：R=

5mv0

3qB

．
（2）設(shè)粒子在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，加速度大小為a，則有：
L=

1

2

at12------------③
v₀tan53°=at₁------------④
ON=v₀t₁------------⑤
解得OP=ON+Rsin53°=

3

2

L+

4mv0

3qB

．
（3）設(shè)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂，則由幾何關(guān)系得：
t2=

53

360

T，而T=

2πm

qB

 所以t2=

53πm

180qB

由③④⑤解得：t1=

3L

2v0

，
a=

8v02

9L

．
設(shè)粒子在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₃，有t3=

2v

a

=

15L

4v0

；
故粒子從M點(diǎn)出發(fā)到第二次通過(guò)CD邊界所用時(shí)間t為：
t=t1+t2+t3=

21L

4v0

+

53πm

180qB

．
答：（1）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑R=

5mv0

3qB

；
（2）O、P兩點(diǎn)間的距離OP=

3

2

L+

4mv0

3qB

；
（3）粒子從M出發(fā)到第二次通過(guò)CD邊界所經(jīng)歷的時(shí)間t=

21L

4v0

+

53πm

180qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵確定圓心、半徑，結(jié)合半徑公式和周期公式進(jìn)行求解．