Question

我國于2007年10月24日，在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，將一顆探月衛(wèi)星“嫦娥一號”成功發(fā)射升空，在經(jīng)歷14天的飛行后，“嫦娥一號”衛(wèi)星接近月球，實(shí)施首次“制動變軌”，進(jìn)入月球捕獲橢圓軌道，又經(jīng)歷兩次“制動變軌”，最終進(jìn)入預(yù)定環(huán)月工作軌道（如圖所示）．
（1）衛(wèi)星在靠近月球前先進(jìn)行變軌，在預(yù)定點(diǎn)處啟動衛(wèi)星上的噴氣推進(jìn)器，為使衛(wèi)星從橢圓軌道進(jìn)入環(huán)月飛行圓軌道，如圖所示，推進(jìn)器是向前噴氣還是向后噴氣？
（2）若已知地球和月球的半徑之比為

R0

R

=3.6，地球和月球表面的重力加速度之比為

g0

g

=6，求地球和月球的密度之比；
（3）若已知月球半徑為R，月球表面處重力加速度為g，衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道上的運(yùn)行周期為T，試求衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道上運(yùn)行時離月球表面高度和衛(wèi)星環(huán)月圓軌道處的重力加速度．

Answer 1

（1）“嫦娥一號”從橢圓軌道進(jìn)入環(huán)月飛行圓軌道，做逐漸靠近圓心的運(yùn)動，即做向心運(yùn)動，應(yīng)減速，故向前噴氣．
（2）在星球表面，根據(jù)萬有引力等于重力列出等式G

Mm

R2

=mg，得M=

R2g

G

密度的定義式ρ=

M

V

所以ρ=

R2g G

4 3 πR3

=

3g

4GπR

已知地球和月球的半徑之比為

R0

R

=3.6，表面的重力加速度之比為

g0

g

=6，
所以地球和月球的密度之比

ρ0

ρ

=

g0R

gR0

=

6

3.6

=

5

3

（3）“嫦娥一號”星繞月球做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力列出等式，G

Mm

(R+h)2

=m

4π2

T2

(R+h)，得h=

3	GMT2 4π2

-R
在月球表面，根據(jù)萬有引力等于重力列出等式：G

Mm′

R2

=m′g，得GM=R²g，
所以：h=

3	R2gT2 4π2

-R
衛(wèi)星環(huán)月圓軌道處，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律G

Mm

(R+h)2

=mgh，
得gh=

GM

(R+h)2

=

R2g

( 3 R2gT2 4π2 )2

=

3	16π4gR2 T4

答：（1）推進(jìn)器是向前噴氣．
（2）地球和月球的密度之比為

5

3

．
（3）衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道上運(yùn)行時離月球表面高度為

3	R2gT2 4π2

-R，衛(wèi)星環(huán)月圓軌道處的重力加速度為

3	16π4gR2 T4

．