Question

19．如圖所示，質(zhì)量為2m的木板靜置于光滑水平面上，其左端固定有一輕質(zhì)彈簧，彈簧自然伸長(zhǎng)時(shí)右端在b點(diǎn)處，木板的Ob段是光滑的，ab段長(zhǎng)為L(zhǎng)，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以大小為v₀的水平初速度從a點(diǎn)滑上木板，彈簧獲得的最大能量是滑塊初動(dòng)能的$\frac{1}{4}$，重力加速度為g．求：
①滑塊與木板ab段間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
②滑塊能否滑離木板？如能，求滑塊滑離a點(diǎn)時(shí)的速度大小v；如不能，求最終靜止時(shí)滑塊與a點(diǎn)的距離x．

Answer 1

分析 ①當(dāng)滑塊與木板的速度相同時(shí)，彈簧獲得的彈性勢(shì)能最大．根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和能量守恒分別列式，即可求得動(dòng)摩擦因數(shù)μ．
②根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求出滑塊與木板相對(duì)靜止時(shí)，滑塊在ab段相對(duì)于木板滑行的距離，與L比較，可分析滑塊能否滑離木板．

解答 解：①當(dāng)滑塊與木板的速度相同時(shí)，彈簧獲得的彈性勢(shì)能最大．取向左為正方向．根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=（m+2m）v．
根據(jù)能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（m+2m）v²+E_p+μmgL
據(jù)題有：E_p=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$mv₀²
聯(lián)立解得：μ=$\frac{5{v}_{0}^{2}}{24gL}$．
②設(shè)滑塊最終與木板靜止時(shí)共同速度為v′，滑塊在ab段相對(duì)于木板滑行的距離為S．根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=（m+2m）v′．
根據(jù)能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（m+2m）v′²+μmgS
聯(lián)立解得：S=1.6L＜2L
所以滑塊不能滑離木板，最終靜止時(shí)滑塊與a點(diǎn)的距離為：
x=2L-S=0.4L
答：①滑塊與木板ab段間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ是$\frac{5{v}_{0}^{2}}{24gL}$；
②滑塊不能滑離木板，最終靜止時(shí)滑塊與a點(diǎn)的距離x是0.4L．

點(diǎn)評(píng) 分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程，抓住系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和能量守恒是解題的關(guān)鍵．要知道產(chǎn)生的內(nèi)能與物體相對(duì)位移的大小有關(guān)．