Question

16．如圖所示，在光滑水平面上有一質(zhì)量M=2kg的小車處于靜止?fàn)顟B(tài)，小車上表面水平軌道AB的長度L=lm，和水平軌道右端B點(diǎn)相連的是一光滑的$\frac{1}{4}$圓弧軌道，其半徑R=0.5m．現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量m=lkg的小物塊以速度v₀=4m/s滑上小車的左端A點(diǎn)，小物塊和小車水平軌道間的動(dòng)摩擦因μ=0.4，（g取，10m/s²）．求：
（1）若小車固定不動(dòng)，則小物塊能滑上圓弧軌道的最大高度為多少？
（2）若小車不固定，則小物塊從開始運(yùn)動(dòng)到第一次通過小車右端B點(diǎn)所用的時(shí)間為多少？
（3）若小車不固定，則分析小物塊是否會(huì)從小車上滑下來？若不滑下來，小物塊最終離小車右端B點(diǎn)多遠(yuǎn)？

Answer 1

分析 （1）對(duì)小物塊滑上圓弧軌道的過程應(yīng)用動(dòng)能定理求解；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求得小車和小物塊的加速度，然后利用位移公式根據(jù)相對(duì)位移求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）根據(jù)動(dòng)量守恒得到末速度，然后由動(dòng)能定理求得物塊在小車上滑動(dòng)的距離，繼而得到最終穩(wěn)定位置．

解答 解：（1）小車固定不動(dòng)，小物塊在小車上運(yùn)動(dòng)只有重力、摩擦力做功，設(shè)小物塊能滑上圓弧軌道的最大高度為h，則由動(dòng)能定理可得：
$-μmgL-mgh=0-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：$h=\frac{\frac{1}{2}{{v}_{0}}^{2}-μgL}{g}=0.4m$；
（2）若小車不固定，那么在小物塊速度大于小車速度時(shí)，小物塊受到的合外力f=μmg=4N，方向向左，物塊做加速度${a}_{1}=\frac{f}{m}=4m/{s}^{2}$的勻減速運(yùn)動(dòng)；
小車受到的合外力為f′=4N，方向向右，小車做加速度${a}_{2}=\frac{f′}{M}=2m/{s}^{2}$的勻加速運(yùn)動(dòng)；
故設(shè)小物塊從開始運(yùn)動(dòng)到第一次通過小車右端B點(diǎn)所用的時(shí)間為t，則有：$L={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
解得：$t=\frac{1}{3}s或t=1s$；
又有小物塊速度大于小車速度，故v₀-a₁t≥a₂t，所以，$t≤\frac{2}{3}s$，所以，$t=\frac{1}{3}s$；
（3）若物塊不從小車上滑下來，那么，物塊最終必停在AB上和小車保持相對(duì)靜止，一起以速度v′向右運(yùn)動(dòng)；
物塊和小車在水平方向上合外力為零，故在水平方向上動(dòng)量守恒，所以有：mv₀=（M+m）v′
解得：$v'=\frac{4}{3}m/s$；
又有，運(yùn)動(dòng)過程中只有摩擦力做功，故由動(dòng)能定理可得：${W}_{f}=\frac{1}{2}（M+m）v{′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-\frac{16}{3}J$；
那么，小物塊在小車上AB上滑動(dòng)的距離為：$d=\frac{-{W}_{f}}{f}=\frac{4}{3}m$
故小物塊最終停在離小車右端B點(diǎn)$\frac{1}{3}m$處．
答：（1）若小車固定不動(dòng)，則小物塊能滑上圓弧軌道的最大高度為0.4m；
（2）若小車不固定，則小物塊從開始運(yùn)動(dòng)到第一次通過小車右端B點(diǎn)所用的時(shí)間為$\frac{1}{3}s$；
（3）若小車不固定，小物塊不會(huì)從小車上滑下來，小物塊最終離小車右端B點(diǎn)$\frac{1}{3}m$處．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．