Question

12．如圖所示，兩金屬導(dǎo)軌形成斜面，導(dǎo)軌間距離為d，傾角為37°，MN和PQ間存在垂直于斜面向上的磁場(chǎng)．a(chǎn)、b兩導(dǎo)體棒垂直于導(dǎo)軌，兩導(dǎo)體棒間距離為d=1m，a導(dǎo)體棒距離磁場(chǎng)上邊界MN的距離為d=1m．a(chǎn)導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m_a=0.2kg，b導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m_b=0.1kg，兩導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，除兩導(dǎo)體棒外，其余電阻不計(jì)，由靜止同時(shí)釋放a、b兩導(dǎo)體棒，當(dāng)a導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)b導(dǎo)體棒剛好進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，a導(dǎo)體棒正好離開磁場(chǎng)，b導(dǎo)體棒在離開磁場(chǎng)前已經(jīng)做勻速運(yùn)動(dòng)．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
求：（1）磁場(chǎng)的寬度L；
（2）a、b導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律即可求出二者的加速度，由位移公式求出a與b到達(dá)MN的時(shí)間，由速度公式求出a與b到達(dá)MN的速度，然后由勻速直線運(yùn)動(dòng)的公式求出磁場(chǎng)的寬度；
（2）導(dǎo)體棒a剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，a做勻速運(yùn)動(dòng)，由共點(diǎn)力平衡點(diǎn)條件求出安培力以及磁感應(yīng)強(qiáng)度，然后對(duì)b分析即可求出b在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度，最后由功能關(guān)系求出a、b導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱．

解答 解：（1）a與b棒在導(dǎo)軌上開始時(shí)受到重力、支持力和摩擦力的作用，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可知：
ma=mgsinθ-μmgcosθ
所以：a=gsinθ-μgcosθ
可知二者運(yùn)動(dòng)的加速度與質(zhì)量無關(guān)，代入數(shù)據(jù)得：a=2m/s²
由位移-速度公式：$2ax={v}_{t}^{2}-{v}_{0}^{2}$可得
a到達(dá)MN的速度：${v}_{a}=\sqrt{2ad}=\sqrt{2×2×1}=2$m/s
b到達(dá)MN的速度：${v}_=\sqrt{2a•2d}=\sqrt{2×2×2×1}=2\sqrt{2}$m/s
由速度公式v=at得
a到達(dá)MN的時(shí)間：${t}_{a}=\frac{{v}_{a}}{a}=\frac{2}{2}=1$s
b到達(dá)MN的時(shí)間：${t}_=\frac{{v}_}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$s
a在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以磁場(chǎng)的寬度：L=${v}_{a}（{t}_-{t}_{a}）=2×（\sqrt{2}-1）≈0.83$m
（2）設(shè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)體棒a與b的電阻值都是R；
導(dǎo)體棒a剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)a做勻速運(yùn)動(dòng)，處于平衡狀態(tài)，則：m_agsinθ-μm_agcosθ-BI₁d=0 
其中：${I}_{1}=\frac{{E}_{1}}{2R}=\frac{Bd{v}_{a}}{2R}$
對(duì)b：m_bgsinθ-μm_bgcosθ-BI₂d=0
其中：${I}_{2}=\frac{{E}_{2}}{2R}=\frac{Bd{v}_′}{2R}$
聯(lián)立以上4式，代入數(shù)據(jù)得：v_b′=1m/s
a在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱等于a減小的重力勢(shì)能，即：
Q₁=m_agLsinθ
b的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱等于b減小的重力勢(shì)能與減小的動(dòng)能的和，即：
${Q}_{2}={m}_gLsinθ+\frac{1}{2}{m}_{v}_^{2}-\frac{1}{2}{m}_v{′}_^{2}$
a、b導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱：Q=Q₁+Q₂
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立得：Q=1.84J
答：（1）磁場(chǎng)的寬度為0.83m；
（2）a、b導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱是1.84J．

點(diǎn)評(píng) 該題考查運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)、牛頓第二定律、閉合電路歐姆定律、法拉第電磁感應(yīng)定律等知識(shí)．考查邏輯推理能力、分析綜合運(yùn)用能力和運(yùn)用物理知識(shí)解決物理問題能力．