Question

如圖所示為“S”形玩具軌道，該軌道是用內壁光滑的薄壁細圓管彎成的，固定在豎直平面內，軌道彎曲部分是由兩個半徑相等的半圓連接而成的，圓半徑比細管內徑大得多，軌道底端與水平地面相切，彈射裝置將一個小球(可視為質點)從a點水平射向b點并進入軌道，經過軌道后從p點水平拋出，已知小球與地面ab段間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，不計其他機械能損失，ab段長L＝1.25 m，圓的半徑R＝0.1 m，小球質量m＝0.01 kg，軌道質量為M＝0.15 kg，g＝10 m/s²，求：

(1)若v₀＝5 m/s，小球從p點拋出后的水平射程；

(2)若v₀＝5 m/s，小球經過軌道的最高點時，管道對小球作用力的大小和方向；

(3)設小球進入軌道之前，軌道對地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當v₀至少為多大時，軌道對地面的壓力為零．

 

Answer 1

【答案】

(1)0.4 m

(2)1.1 N，方向豎直向下

(3)5 m/s

【解析】(1)設小球運動到p點時的速度大小為v，對小球由a點運動到p點的過程，應用動能定理得：

－μmgL－4Rmg＝mv²－mv         ①

小球從p點拋出后做平拋運動，設運動時間為t，水平射程為x，則

4R＝gt²                                                ②

x＝v                                t③

聯(lián)立①②③代入數(shù)據解得x＝0.4 m.

(2)設在軌道最高點時管道對小球的作用力大小為F，取豎直向下為正方向，

有：F＋mg＝m                     ④

聯(lián)立①④代入數(shù)據解得F＝1.1 N，方向豎直向下．

(3)分析可知，要使小球以最小速度v₀運動，且軌道對地面的壓力為零，則小球的位置應該在“S”形軌道的中間位置，

則有：F′＋mg＝m，F(xiàn)′＝Mg

－μmgL－2mgR＝mv－mv

解得：v₀＝5 m/s.