Question

11．如圖所示，傾角θ=30°的光滑傾斜導(dǎo)體軌道（足夠長(zhǎng)）與光滑水平導(dǎo)體軌道連接，軌道寬度均為L(zhǎng)=1m，電阻忽略不計(jì)．勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ僅分布在水平軌道平面所在區(qū)域，方向水平向右，大小B₁=1T，勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ僅分布在傾斜軌道平面所在區(qū)域，方向垂直于傾斜軌道平面向下，大小B₂=2T．現(xiàn)將兩質(zhì)量均為m=0.4kg，電阻均為R=0.5Ω的相同導(dǎo)體棒ab和cd，垂直于軌道分別置于水平軌道上和傾斜軌道上，并同時(shí)由靜止釋放，g=10m/s²．
（1）求導(dǎo)體棒cd沿傾斜軌道下滑的最大速率及此時(shí)水平軌道對(duì)ab棒的支持力大小；
（2）若已知從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到cd棒達(dá)到最大速度的過(guò)程中，ab棒產(chǎn)生的焦耳熱Q=0.45J，求該過(guò)程中通過(guò)cd棒橫截面的電荷量；
（3）若已知cd棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)距水平軌道高度h=10m，cd棒由靜止釋放后，為使cd棒中無(wú)感應(yīng)電流，可讓磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化，將cd棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻記為t=0，此時(shí)磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀=2T，試求cd棒在傾斜軌道上下滑的這段時(shí)間內(nèi)，磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）從靜止釋放金屬棒a，先做加速運(yùn)動(dòng)，隨著速度增大，棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流增大，合力減小，加速度減小，由于導(dǎo)軌的傾斜部分足夠長(zhǎng)，所以金屬棒在進(jìn)入水平軌道前做勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、安培力公式和平衡條件求出勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度．
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、電流計(jì)算公式求出電荷量．
（3）為使cd棒中無(wú)感應(yīng)電流，磁通量應(yīng)不變．由磁通量的計(jì)算公式、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合分析答題．

解答 解：（1）cd棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，設(shè)為v_m，棒中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E，電流為I，
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=B₂Lv_m，
電流為：I=$\frac{E}{2R}$，
由平衡條件得：mgsinθ=B₂IL
解得：v_m=0.5m/s，
感應(yīng)電流：I_m=$\frac{{B}_{2}L{v}_{m}}{2R}$=$\frac{2×1×0.5}{2×0.5}$=1A，
由右手定則，感應(yīng)電流順時(shí)針，再根據(jù)左手定則，ab棒受到的安培力豎直向下，
對(duì)ab棒：F_N=mg+B₁I_1mL=0.4×10+1×1×1=5N；
（2）設(shè)cd從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到達(dá)最大速度的過(guò)程中經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t，通過(guò)的距離為x，cd棒中平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₁，平均電流為I₁，通過(guò)cd棒橫截面的電荷量為q，
由能量守恒定律得：mgxsinθ=$\frac{1}{2}$mv_m²+2Q，解得：x=0.475m，
電動(dòng)勢(shì)為：E₁=B₂L$\frac{x}{t}$，
電流為：I₁=$\frac{{E}_{1}}{2R}$，
電荷量為：q=I₁t，
解得：q=$\frac{{B}_{2}Lx}{2R}$=$\frac{2×1×0.0.475}{2×0.5}$=0.95C；
（3）設(shè)cd棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)穿過(guò)回路的磁通量為Φ₀，cd棒在傾斜軌道上下滑的過(guò)程中，
設(shè)加速度大小為a，經(jīng)過(guò)時(shí)間t通過(guò)的距離為x₁，穿過(guò)回路的磁通量為Φ，cd棒在傾斜軌道上下滑時(shí)間為t₀，
磁通量：Φ₀=B₀L$\frac{h}{sinθ}$，
加速度為：a=gsinθ，
位移為：x₁=$\frac{1}{2}$at²
磁通量為：Φ=BL（$\frac{h}{sinθ}$-x₁），$\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}$at₀²
解得：t₀=2$\sqrt{2}$s，
為使cd棒中無(wú)感應(yīng)電流，必須有：Φ₀=Φ，
解得：B=$\frac{16}{8-{t}^{2}}$T （t＜2$\sqrt{2}$s）；
答：（1）導(dǎo)體棒cd沿斜軌道下滑的最大速度的大小為1m/s此時(shí)水平軌道對(duì)ad棒的支持力大小5N；
（2）該過(guò)程中通過(guò)cd棒橫截面的電荷量為1C；
（3）磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為B=$\frac{16}{8-{t}^{2}}$T （t＜2$\sqrt{2}$s）．

點(diǎn)評(píng) 本題分析時(shí)，一定要注意題中條件：導(dǎo)軌的傾斜部分和水平部分都足夠長(zhǎng)，分析知道在斜軌上棒最終勻速運(yùn)動(dòng)，在水平軌道上最終靜止，再運(yùn)用電磁感應(yīng)的規(guī)律和力學(xué)知識(shí)求解．