Question

16．現(xiàn)代科學(xué)儀器常利用電場(chǎng)、磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)．如圖所示，真空中存在著多層緊密相鄰的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，寬度均為d．電場(chǎng)強(qiáng)度為E，方向水平向左；垂直紙面向里磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁，垂直紙面向外磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂．電場(chǎng)、磁場(chǎng)的邊界互相平行且與電場(chǎng)方向垂直．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子在第1層磁場(chǎng)左側(cè)邊界以初速度v₀射入，方向與邊界夾角為θ，設(shè)粒子始終在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，除B₁、B₂、E以外其他物理量已知，不計(jì)粒子重力及運(yùn)動(dòng)時(shí)的電磁輻射．（cos53°=0.6，sin53°=0.8）

（1）若θ=53°，要求粒子不進(jìn)入電場(chǎng)，求B₁至少多大？
（2）若θ=53°且B₁=$\frac{m{v}_{0}}{5qd}$，要求粒子不穿出電場(chǎng)，求E至少多大？
（3）若B₁、E均已知，求粒子從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)速度的大�。�
（4）若B₁、E均已知，且粒子從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)速度方向恰與原方向平行，求B₂的值．

Answer 1

分析 （1）找到粒子恰好不進(jìn)入電場(chǎng)的臨界條件，即軌跡恰好與第一層左邊磁場(chǎng)的右邊界相切，利用洛倫茲力提供向心力，再與臨界幾何關(guān)系聯(lián)立，即可求出B₁的臨界值；
（2）洛倫茲力提供向心力，結(jié)合已知B₁=$\frac{m{v}_{0}}{5qd}$，再利用幾何關(guān)系，可求出粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度的方向，再運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解，只考慮沿電場(chǎng)線方向的運(yùn)動(dòng)，粒子不穿出電場(chǎng)需滿足：粒子恰好運(yùn)動(dòng)到第一層電場(chǎng)的右邊界時(shí)，沿電場(chǎng)線方向的速度恰好減為0，利用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，即可求出電場(chǎng)強(qiáng)度E的臨界值；
（3）從做功的角度考慮，洛倫茲力不做功，電場(chǎng)力做負(fù)功，運(yùn)用動(dòng)能定理即可求出粒子從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)速度的大小；
（4）全過(guò)程在垂直于電場(chǎng)方向上只有洛倫茲力有沖量，設(shè)向上為正方向，根據(jù)動(dòng)量定理結(jié)合（3）問中v_n的值，聯(lián)立即可求出B₂的值．

解答 解：（1）當(dāng)θ=53°時(shí)，設(shè)粒子在B₁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R₁，
根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}}$
恰不進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)有R₁-R₁cosθ=d
解得：B₁≥$\frac{2m{v}_{0}}{5qd}$
（2）當(dāng)θ=53°且B₁=$\frac{m{v}_{0}}{5qd}$，設(shè)粒子在B₁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R₁′，
根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}′}$
設(shè)粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)與界面夾角為β，
在B₁場(chǎng)中，由幾何關(guān)系：R₁′cosβ-R₁′cosθ=d
解得：β=37°
在電場(chǎng)中沿場(chǎng)強(qiáng)方向上勻減速運(yùn)動(dòng)，有：（v₀sinβ）²-0=2$\frac{Eq}{m}$d
所以：E≥$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{50qd}$
（3）對(duì)粒子，設(shè)從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)速度的大小為v_n，
根據(jù)動(dòng)能定理可得：-nEqd=$\frac{1}{2}m{v}_{n}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v_n=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2nEqd}$
（4）對(duì)粒子，全過(guò)程中，在垂直于電場(chǎng)方向上只有洛倫茲力有沖量，設(shè)向上為正方向，
由動(dòng)量定理可得：n（B₁qd-B₂qd）=mv_ncosθ-mv₀cosθ
解得：B₂=B₁+$\frac{m（{v}_{0}-\sqrt{{v}_{0}^{2}-2nEqd}）cosθ}{nqd}$
答：（1）若θ=53°，要求粒子不進(jìn)入電場(chǎng)，B₁至少為$\frac{2m{v}_{0}}{5qd}$；
（2）若θ=53°且B₁=$\frac{m{v}_{0}}{5qd}$，要求粒子不穿出電場(chǎng)，E至少為$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{50qd}$；
（3）若B₁、E均已知，粒子從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)速度的大小為$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2nEqd}$；
（4）若B₁、E均已知，且粒子從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)速度方向恰與原方向平行，B₂的值為B₁+$\frac{m（{v}_{0}-\sqrt{{v}_{0}^{2}-2nEqd}）cosθ}{nqd}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，屬于高考的壓軸題，要求學(xué)生能正確分析物理過(guò)程，并能靈活應(yīng)用物理學(xué)中相應(yīng)的規(guī)律；同時(shí)還要注意掌握整體思想以及數(shù)學(xué)知識(shí)在物理學(xué)中的應(yīng)用；該類問題的難度較大，對(duì)學(xué)生綜合能力要求較高．