Question

（2013?合肥一模）如圖所示，光滑半圓形軌道處于豎直平面內(nèi)，半圓軌道與光滑的水平地面相切于半圓的端點(diǎn)A．一質(zhì)量為m的小球在水平地面上的C點(diǎn)受水平向左的恒力F由靜止開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)撤去恒力F，小球沿豎直半圓軌道運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)B點(diǎn)，最后又落在水平地面上的D點(diǎn)（圖中未畫出）．已知A、C間的距離為L，重力加速度為g．
（1）若軌道半徑為R，求小球到達(dá)圓軌道B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力F_N；
（2）為使小球能運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)B，求軌道半徑的最大值R_m；
（3）軌道半徑R多大時(shí)，小球在水平地面上的落點(diǎn)D到A點(diǎn)的距離最大？最大距離x_m是多少？

Answer 1

分析：（1）先由動(dòng)能定理求出小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小，再由牛頓第二定律求出軌道對小球的彈力，即可由牛頓第三定律得到小球?qū)�軌道的壓力�?br />（2）當(dāng)小球?qū)�軌道的壓力恰好為零時(shí)，求出軌道半徑的最大值R_m；
（3）小球離開B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再根據(jù)初速度和時(shí)間求出平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移表達(dá)式，與第1題中小球經(jīng)過B點(diǎn)的速度聯(lián)立，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答：解：（1）設(shè)小球到達(dá)圓軌道B點(diǎn)時(shí)速度為v，從C到B，由動(dòng)能定理有：
FL-2mgR=

1

2

mv2-0
解得：v=

2FL-4mgR m

據(jù)牛頓第二定律有：F_N′+mg=m

v2

R

 
解得：F_N′=

2FL

R

-5mg
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球到達(dá)圓軌道B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力為：F_N=F_N′=

2FL

R

-5mg，方向豎直向上．
（2）軌道半徑越大，小球到達(dá)最高點(diǎn)的速度越小，當(dāng)小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，軌道對小球的作用力為零，則小球?qū)�軌道的壓力也為零，此時(shí)軌道半徑最大，則令F_N=

2FL

R

-5mg=0，解得軌道半徑的最大值R_m=

2FL

5mg

（3）設(shè)小球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，在豎直方向上有：2R=

1

2

gt2
得：t=2

R g

水平位移為：x=vt=

2FL-4mgR m

?2

R g

=

(2FL-4mgR)(4mgR) m2g2

當(dāng)2FL-4mgR=4mgR時(shí)，水平位移x最大，得：R=

FL

4mg

D到A最大距離為：x_m=4R=

FL

mg

答：
（1）若軌道半徑為R，小球到達(dá)圓軌道B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力F_N是

2FL

R

-5mg，方向豎直向上．
（2）為使小球能運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)B，軌道半徑的最大值R_m是

2FL

5mg

．
（3）軌道半徑R=

FL

4mg

時(shí)，小球在水平地面上的落點(diǎn)D到A點(diǎn)的距離最大，最大距離x_m是

FL

mg

．

點(diǎn)評：本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理、牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵理清過程，選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砘蚨�律進(jìn)行解題．