Question

如圖（甲）所示，x≥0的區(qū)域內(nèi)有如圖乙所示大小不變、方向隨時(shí)間周期性變化的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外時(shí)為正方向．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電量為q的正電粒子，在t=0時(shí)刻從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度v沿著與x軸正方向成75°角射入．粒子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間到達(dá)P點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a），此時(shí)粒子的速度方向與

.

OP

延長(zhǎng)線的夾角為30°．粒子在這過(guò)程中只受磁場(chǎng)力的作用．
（1）若B為已知量，試求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑R及周期T的表達(dá)式．
（2）說(shuō)明在OP間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間跟所加磁場(chǎng)的變化周期T之間應(yīng)有什么樣的關(guān)系才能使粒子完成上述運(yùn)動(dòng)．
（3）若B為未知量，那么所加磁場(chǎng)的變化周期T、磁感強(qiáng)度B₀的大小各應(yīng)滿足什么條件，才能使粒子完成上述運(yùn)動(dòng)？（寫(xiě)出T及B₀各應(yīng)滿足條件的表達(dá)式）

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可求出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑．由帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的周期公式T=

2πR

v

可求出粒子的運(yùn)動(dòng)周期．
（2）畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，通過(guò)題意找出磁場(chǎng)的變化周期和粒子的運(yùn)動(dòng)周期的關(guān)系，結(jié)合幾何圖形，可得出粒子到達(dá)P點(diǎn)的時(shí)間與磁場(chǎng)的變化周期T之間的關(guān)系．
（3）結(jié)合第二問(wèn)的分析，考慮到帶電粒子從O到P運(yùn)動(dòng)中可完成的周期的重復(fù)性，列式求解即可．

解答：解：（1）粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
      Bqv=m

v2

R

 解得軌道半徑：R=

mv

Bq

 周期為  T_運(yùn)=

2πR

v

=

2πm

qB

（2）由粒子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)與P點(diǎn)的速度方向以及B方向可判斷．

由O至P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程可能在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)完成．
當(dāng)磁場(chǎng)方向改變時(shí)，粒子繞行方向也變化，由于磁場(chǎng)方向變化的周期性，因此粒子繞行方向也具有周期性．由此可知，由O至P運(yùn)動(dòng)過(guò)程，也可能在磁場(chǎng)變化半周期奇數(shù)倍時(shí)完成．
（3）如答圖所示：O→P運(yùn)動(dòng)過(guò)程，可能恰轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)

1

6

圓周完成，若磁場(chǎng)變化半周期．
則有 

T

2

≥

T總

6

          
解得 T≥

1

3

T_運(yùn)
即T≥

2πm

3qB

可能僅運(yùn)動(dòng)一個(gè)

1

6

圓周就達(dá)P點(diǎn)，此時(shí)OP=R=

2

a=

mv

qB

  B=

mv

q 2 a

=

2 mv

qa

    ①
∴T≥

2πm

3qB

=

2 2 πa

3v

    ②
若粒子運(yùn)動(dòng)在磁場(chǎng)變化的半周期的奇數(shù)倍時(shí)間內(nèi)完成，則（2k-1）

T

2

=（2k-1）

T總

6

 （k=1，2，3…）
  T=

1

3

T_總=

2πm

3qB

          ③
由答圖一，此時(shí)

.

OP

=（2k-1）R
∴

2

a=（2k-1）

mv

Bq

B=（2k-1）

2 mv

2aq

 （k=1，2，3，…）  ④
④代入③得：T=

3 πa

3(2k-1)v

 （k=1，2，3，…）     ⑤
①④結(jié)合得：B=（2k-1）

2 mv

2aq

②⑤結(jié)合得：T

＞ 2 2 πa 3v = 2 2 πa 3(2k-1)v (k=1，2，3，4…)

　　
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑R為

mv

Bq

，周期T的表達(dá)式為 T_運(yùn)=

2πm

qB

．
（2）由O至P運(yùn)動(dòng)過(guò)程，也可能在磁場(chǎng)變化半周期奇數(shù)倍時(shí)完成．
（3）若B為未知量，那么所加磁場(chǎng)的變化周期T、磁感強(qiáng)度B₀的大小各應(yīng)滿足T

＞ 2 2 πa 3v = 2 2 πa 3(2k-1)v (k=1，2，3，4…)

　的條件，才能使粒子完成上述運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng)：該題考察了帶電粒子在方向隨時(shí)間作周期性變化的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，此題不但要求學(xué)生要熟練的應(yīng)用帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑公式和周期公式，還要求要有較強(qiáng)的對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的分析能力，該題關(guān)鍵是找出磁場(chǎng)變化的周期和粒子圓周運(yùn)動(dòng)的周期的關(guān)系．正確的繪制出粒子的軌跡圖，對(duì)解決問(wèn)題有非常大的幫助．