Question

如圖所示，帶電平行金屬板相距為2R，在兩板間半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直綁面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，兩板及其上側(cè)邊緣連線均與磁場(chǎng)邊界剛好相切．一帶電粒子（不計(jì)重力）沿兩板間中心線O₁O₂從O₁點(diǎn)豎直向下以某一速度射入，沿直線通過(guò)圓形磁場(chǎng)、電場(chǎng)復(fù)合區(qū)域，然后恰好從左極板下邊緣飛出，在極板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．若僅撤去磁場(chǎng)，該粒子仍從O₁點(diǎn)以相同的速度射入，經(jīng)時(shí)間打到極板上．
（1）試判斷該粒子帶何種電荷；
（2）求兩極板間電壓U；
（3）若兩極板不帶電，保持磁場(chǎng)不變，帶電粒子仍沿中心線O₁O₂從O₁點(diǎn)射入，欲使帶電粒子不打在極板上，粒子的速度應(yīng)滿足什么條件？（已知sin2θ=2sinθ，tanθ=）

Answer 1

【答案】分析：（1）“沿直線通過(guò)圓形磁場(chǎng)、電場(chǎng)復(fù)合區(qū)域，然后恰好從左極板下邊緣飛出”說(shuō)明帶電粒子電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡，所受 電場(chǎng)力水平向左，由此可判電荷性質(zhì)；
（2）沿直線通過(guò)圓形磁場(chǎng)、電場(chǎng)復(fù)合區(qū)域，說(shuō)明帶電粒子電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡，根據(jù)平衡即可求出電壓；
（3）帶電粒子先做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，出磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，臨界是恰好從右板下邊緣或上邊緣用，幾何關(guān)系可求出半徑，然后利用牛頓第二定律即可求出兩個(gè)臨界速度．
解答：解：（1）由題意知：帶電粒子從左極板下邊緣飛出，該粒子受水平向左的電場(chǎng)力，與電場(chǎng)方向相同，所以粒子帶正電
（2）設(shè)粒子從O₁點(diǎn)射入的速度為V，極板長(zhǎng)為L(zhǎng)
在復(fù)合場(chǎng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)：               ①
在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)：豎直方向；L-2R=vt     ②
水平方向：      ③
又  L=vt           ④
撤去磁場(chǎng)，僅受電場(chǎng)力，則：         ⑤
①→⑤聯(lián)立得   
             ⑥
（3）設(shè)粒 子恰好右極板上邊緣飛出時(shí)的偏轉(zhuǎn)角為α，此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r₁，有幾何關(guān)系可知：

              ⑦
由①⑤得，         ⑧
  由洛倫茲力提供向心力得：    ⑨
⑦⑨聯(lián)立得：
所以，粒子從兩極板上端口飛出的條件為：
若粒子恰好從右板下邊緣飛出時(shí)速度的偏轉(zhuǎn)角為θ，此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r₂，

由幾何關(guān)系知 
               ⑩
由公式可得：    
所以
由得：
所以粒子從兩極板下端出口飛出的條件為
綜上所述．欲使粒子不打在極板上，射入的速度滿足的條件為
答：（1）該粒子帶帶正電
（2）兩極板間電壓
（3）欲使粒子不打在極板上，射入的速度滿足的條件為
點(diǎn)評(píng)：解決帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是抓住題目中的突破口．粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)問題處理的基本方法是畫軌跡，往往從分析邊界情況，得到臨界速度．常常用到幾何和三角知識(shí)求解半徑．