Question

4．如圖所示，在豎直平面內，半徑為2R的四分之一圓弧軌道AB與半徑為R的半圓軌道BC在B點平滑連接，C、A兩點在同-水平線上，C、B兩點在同一豎直線上（中點為O），圓弧AB上的D點與O點等高．一個質量為m的小物塊自距A點高為R的P點自由下落，從A點沿切線進入圓弧軌道AB后，恰能通過最高點C．已知重力加速度為g，不計空氣阻力，則小物塊在運動過程中（　�。�

• A． 從P點到C點合外力做功為mgR
• B． 從P點到C點克服摩擦力做功$\frac{1}{2}$mgR
• C． 經過B點前后瞬間，小物塊對軌道的壓力將變小
• D． 小物塊從C點飛出后，應落在圓弧軌道BD之間

Answer 1

分析 從P點到C點合外力做功等于小物塊動能的變化．根據小物塊恰能通過最高點C，由重力提供向心力，求出物塊通過C點時的速度，再由動能定理求合外力做功．并由合外力做功等于各個力做功的代數和求克服摩擦力做功．在B點，由合力提供向心力，由牛頓定律分析經過B點前后瞬間小物塊對軌道的壓力如何變化．小物塊離開C點后，由平拋運動的規(guī)律和幾何知識結合分析落點的位置．

解答 解：A、小物塊恰能通過最高點C，由重力提供向心力，則 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得 v_C=$\sqrt{gR}$
從P點到C點，由動能定理得：合外力做功 W_合=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-0=$\frac{1}{2}$mgR，故A錯誤．
B、根據W_合=mgR-W_f，得克服摩擦力做功 W_f=$\frac{1}{2}$mgR．故B正確．
C、經過B點前后瞬間，小物塊的速率不變，以物塊為研究對象，由牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得 N=mg+m$\frac{{v}^{2}}{r}$，因軌道半徑減小，則軌道對小物塊的支持力變大，由牛頓第三定律知小物塊對軌道的壓力將變大，故C錯誤．
D、小物塊從C點飛出后做平拋運動，則有 x=v_Ct，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
又由幾何關系有 x²+y²=（2R）²．
解得 t²=$\frac{（\sqrt{5}-1）R}{g}$，y=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$R≈0.618R＜R，所以小物塊從C點飛出后，應落在圓弧軌道AD之間，故D錯誤．
故選：B

點評 對于圓周運動，要把握臨界條件，知道物塊恰好通過C點時重力等于向心力．對于有條件的平拋運動，要挖掘隱含的幾何關系，分析水平位移和豎直位移的關系．