Question

1．如圖所示，ABC為一光滑細圓管構成的$\frac{3}{4}$圓軌道，固定在豎直平面內，軌道半徑為R（比細圓管的半徑大得多），OA水平，OC豎直，最低點為B，最高點為C．在A點正上方某位置處有一質量為m的小球（可視為質點）由靜止開始下落，剛好進入細圓管內運動．已知細圓管的內徑稍大于小球的直徑，不計空氣阻力．
（1）若小球剛好能到達軌道的最高點C，求釋放點距A點的高度
（2）若釋放點距A點豎直高度為2R，求小球經(jīng)過最低點B時軌道對小球的支持力大小
（3）若小球從C點水平飛出后恰好能落到A點，求小球在C點對圓管的作用力．

Answer 1

分析 （1）小球剛好能到達軌道的最高點C，則小球通過C點的速度為零，由機械能守恒列式求解；
（2）在B點對小球受力分析，由牛頓第二定律和動能定理列式聯(lián)立求解；
（3）小球從C點飛出做平拋運動．根據(jù)平拋運動規(guī)律和牛頓第二定律求圓管對小球的作用力，再由牛頓第三定律小可知球對圓管的作用力．

解答 解：（1）小球剛好能到達軌道的最高點C，即小球到達C點的速度為0，以A點所在水平面為零勢能面，
根據(jù)機械能守恒可得：mgh=mgR
解得：h=R．
（2）在B點對小球由牛頓第二定律可得：${F_N}-mg=m\frac{v^2}{R}$
根據(jù)動能定理：$3mgR=\frac{1}{2}mv_B^2$
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：F_N=7mg．
（3）小球從C點飛出做平拋運動．
水平方向上有：R=v_Ct
豎直方向上有：$R=\frac{1}{2}g{t^2}$
由牛頓第二定律可得：$mg-{F_{NB}}=m\frac{v_C^2}{R}$
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：${F_{NB}}=\frac{1}{2}mg$
根據(jù)牛頓第三定律，小球對圓管的作用力大小為$\frac{1}{2}mg$，方向豎直向下．
答：（1）若小球剛好能到達軌道的最高點C，釋放點距A點的高度為R；
（2）若釋放點距A點豎直高度為2R，小球經(jīng)過最低點B時軌道對小球的支持力大小為7mg；
（3）若小球從C點水平飛出后恰好能落到A點，小球在C點對圓管的作用力大小為$\frac{1}{2}mg$，方向豎直向下．

點評 本題為動能定理與圓周運動的結合的綜合題，解決本題的關鍵掌握動能定理，以及知道做圓周運動沿半徑方向的合力提供向心力．